[論文レビュー] Gromov, Cauchy and causal boundaries for Riemannian, Finslerian and Lorentzian manifolds

José Luis Flores, Jónatan Herrera+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2010

Advanced Differential Geometry Research被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、有界速度をとる曲線と関連するバーステン型関数を用いて、リーマン的およびフィンスラー的多様体のための新しいバーステンコンパクト化 $M_B$ を導入し、Cauchy境界 $\partial_C M$、グロモフ境界 $\partial_G M$、および標準的共形静的時空の因果的境界 $\partial V$ の間の自然な関係を確立する。主な貢献は、このような時空における因果的境界 $\partial V$ の完全な特徴付けであり、それは二つのバーステン境界 $\partial_B^+M$ と $\partial_B^-M$ の和集合から生じ、適切な位相的条件下で二重円錐構造をとることを示している。

ABSTRACT

Recently, the old notion of causal boundary for a spacetime V has been redefined in a consistent way. The computation of this boundary $\partial V$ for a standard conformally stationary spacetime V = R x M, suggests a natural compactification $M_B$ associated to any Riemannian metric on M or, more generally, to any Finslerian one. The corresponding boundary $\partial_B M$ is constructed in terms of Busemann-type functions. Roughly, $\partial_B M$ represents the set of all the directions in M including both, asymptotic and "finite" (or "incomplete") directions. This Busemann boundary $\partial_B M$ is related to two classical boundaries: the Cauchy boundary and the Gromov boundary. Our aims are: (1) to study the subtleties of both, the Cauchy boundary for any generalized (possibly non-symmetric) distance and the Gromov compactification for any (possibly incomplete) Finsler manifold, (2) to introduce the new Busemann compactification $M_B$, relating it with the previous two completions, and (3) to give a full description of the causal boundary $\partial V$ of any standard conformally stationary spacetime.

研究の動機と目的

• 一般化された（非対称である可能性のある）距離空間および不完全なフィンスラー多様体のためのCauchy境界、グロモフ境界、バーステン境界を体系的に研究すること。
• 有界速度をとる曲線から得られるバーステン型関数を用いて、リーマン的およびフィンスラー的多様体のための新しいバーステンコンパクト化 $M_B$ を定義・分析すること。
• バーステン境界と古典的なCauchy境界およびグロモフ境界との正確な関係を確立し、$\partial_C M \subset \partial_B M \subset \partial_G M$ が成り立ち、$\partial_B M$ により粗い位相が入ることを示すこと。
• 標準的共形静的時空 $V = \mathbb{R} \times M$ の因果的境界 $\partial V$ を、空間的基底 $M$ のバーステンコンパクト化を用いて完全に記述すること。
• 特に、Cauchy完備化の局所コンパクト性とバーステン完備化のハウスドルフ性を保証する条件下で、$\partial V$ の位相的および因果的構造を明確にすること。

提案手法

• 有界速度をとる曲線と関連するバーステン関数の同値類の集合としてバーステン境界 $\partial_B M$ を定義する。二つの曲線がそのバーステン関数の差が定数である場合に同値とみなす。
• コンパクト化上の $M_B^+$ および $M_B^-$ に歴史的位相を導入し、これはグロモフ位相よりも粗く、コンパクト化上に自然な因果的構造を許容する。
• 一般化された準距離 $d_Q^+$ を用いて、前向きおよび後向きのCauchy完備化 $M_C^+$ および $M_C^-$ を関連付け、c境界の一貫した構成を可能にする。
• 標準的静的時空 $V = \mathbb{R} \times M$ の因果的境界 $\partial V$ を、$\partial_B^+M$ および $\partial_B^-M$ の上に二つの円錐をとる和集合として構成し、頂点をそれぞれ $i^+$ および $i^-$ とする。
• $\partial_C^+M \subset \partial_B^+M \subset \partial_G^+M$ の包含関係を確立し、$\partial_B^+M$ の位相的性質（コンパクト性、ハウスドルフ性の成立条件など）を分析する。
• 静的状況に応用し、$M$ 上のフィンスラー計量がリーマン計量に還元される場合に、$\partial_B^+M$ と $\partial_B^-M$ が一致し、$M_C$ が局所コンパクトで $M_B$ がハウスドルフであれば、因果的境界 $\partial V$ が時間反転に対して対称な二重円錐構造をとることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のリーマン的またはフィンスラー的多様体について、計量が不完全または非可逆であっても、バーステンコンパクト化 $M_B$ を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 Cauchy境界 $\partial_C M$、グロモフ境界 $\partial_G M$、および新しいバーステン境界 $\partial_B M$ の間の正確な関係は何か？
• RQ3 標準的共形静的時空 $V = \mathbb{R} \times M$ の因果的境界 $\partial V$ は、基底多様体 $M$ のバーステンコンパクト化からどのように生じるか？
• RQ4 どのような位相的条件下で、因果的境界 $\partial V$ は点集合としても位相的にも二重円錐構造を有するようになるか？
• RQ5 歴史的位相は $M_B^+$ および $M_B^-$ に果たす役割は何か？また、グロモフ位相およびCauchy位相と比べてどのように異なるか？

主な発見

• バーステン境界 $\partial_B M$ は、$M$ 内の有界速度をとる曲線と関連するバーステン関数の同値類の集合として構成され、Cauchy境界とグロモフ境界の間にある自然なコンパクト化を形成する。
• 点集合としての包含関係 $\partial_C M \subset \partial_B M \subset \partial_G M$ が成り立ち、$\partial_B M$ の位相はCauchy位相およびグロモフ位相よりも厳密に粗い。
• 標準的共形静的時空 $V = \mathbb{R} \times M$ に対して、因果的境界 $\partial V$ は、$\partial_B^+M$ および $\partial_B^-M$ の上に二つの円錐をとる和集合として完全に記述される。頂点はそれぞれ $i^+$ および $i^-$ である。
• $\partial V$ の因果的構造は、$\partial_C^+M$ と $\partial_C^-M$ の点のペアを $S$-関係で結ぶことで定まる。点が $\partial_C^s M$ に属するかどうかに応じて、時空的または光的（ホライゾンタル）な直線が得られる。
• $\partial V$ の二重円錐構造が位相的に実現されるのは、$M_C$ が局所コンパクトで $M_B$ がハウスドルフである場合に限り、境界が点集合としても位相的にも単純になる。
• 静的状況では、$M$ 上のフィンスラー計量がリーマン計量に還元され、$\partial_B^+M$ と $\partial_B^-M$ が一致し、$M_C$ が局所コンパクトで $M_B$ がハウスドルフであれば、因果的境界 $\partial V$ は時間反転に対して対称な構造をとる。