[論文レビュー] Gromov-Hausdorff limits of Kähler manifolds with bisectional curvature lower bound I

Gang Liu|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、双曲的曲率に下界がある完全なケーラー多様体の列の点付きGromov-Hausdorff極限が、正の体積を一様に有する場合、正規の複素解析的空間に同相であることを確立する。極限における複素構造は、正則関数の極限によって誘導され、曲率の下界における複素構造の退化に関する主要な問題を解決する。

ABSTRACT

Given a sequence of complete(compact or noncompact) Kähler manifolds $M^n_i$ with bisectional curvature lower bound and noncollapsed volume, we prove that the pointed Gromov-Hausdorff limit is homeomorphic to a normal complex analytic space. The complex analytic structure is the natural "limit" of complex structure of $M_i$.

研究の動機と目的

• 双曲的曲率に下界があるケーラー多様体のGromov-Hausdorff極限の構造を理解すること。
• 極限空間がメトリック的特異点が存在する場合でも、複素解析的構造を引き継ぐかどうかを特定すること。
• 極限におけるメトリック的特異点（余次元2）と複素解析的特異点（余次元≥4）の不一致を解消すること。
• 極限空間が局所的に可縮可能であり、正規の複素解析的概形に同相であることを証明すること。
• 非コンパクトケーラー多様体に正の双曲的曲率を有する均一化予想を研究するための基盤的道具を構築すること。

提案手法

• Cheeger-Colding-Gromovの収束理論を双曲的曲率の下界を伴うケーラー幾何学に適応すること。
• Ni-Tamの熱流における最大原理を、複素ヘッセ行列を用いたボッハナー公式を用いて、負の曲率の場合に拡張すること。
• 局所化とHörmanderのL²推定を用いて、特殊点の近傍に良い正則座標を構成すること。
• 接錐がℝ²ⁿ⁻²を部分空間として持つメトリック的特異点が、複素解析的意味で正則であることを証明すること。
• 負の曲率を持つケーラー多様体における三重円定理を用い、[14]における正則断面の技法を適応すること。
• 正則関数の一様収束と局所環の正規化を用いて、極限空間上に構造層を構築すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的曲率に下界があるケーラー多様体のGromov-Hausdorff極限に複素解析的構造を定義できるか？
• RQ2 双曲的曲率に下界がある場合、極限におけるメトリック的特異点と複素解析的特異点の関係はいかなるものか？
• RQ3 これらの曲率および体積の条件下で、極限空間は局所的に可縮可能か？
• RQ4 近似多様体上の正則関数を用いて、極限上に整合性のある複素構造を定義できるか？
• RQ5 極限空間上の複素解析的構造は、正則点においてメトリック的構造と一致するか？

主な発見

• 双曲的曲率 ≥−1 で一様に正の体積を有する完全なケーラー多様体の点付きGromov-Hausdorff極限は、正規の複素解析的空間に同相である。
• 極限における複素解析的構造は、近似多様体の小さな球上で正則関数の極限によって誘導される。
• 接錐がℝ²ⁿ⁻²を部分空間として持つメトリック的特異点は、複素解析的意味で正則であり、余次元の不一致が解消される。
• 極限空間は局所的に可縮可能であり、ペレルマンの結果が双曲的曲率の下界を伴うケーラー設定に拡張される。
• 正の双曲的曲率と最大体積成長を有する非コンパクトケーラー多様体（2次元）は単連結である。
• 極限空間上の構造層は適切に定義されており、正規である。局所正則座標は正則関数の極限から誘導される。