[論文レビュー] Gromov-Hausdorff ultrametric

Ihor Zarichnyi|ArXiv.org|Nov 17, 2005

advanced mathematical theories参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、コンパクトな超距離空間のクラスに対して、$\varrho_{GHu}$ と表記される、Gromov-Hausdorff型の距離を導入し、それが強い三角不等式を満たすことを証明することで、同型類の空間上で超距離をなすことを示している。主な結果として、距離が固定された可算集合 $K \subset \mathbb{R}_+$ に含まれる超距離空間の空間で、0 が非孤立点である場合、その空間は無理数の空間と位相的に同相であることが示された。

ABSTRACT

We show that there exists a natural counterpart of the Gromov-Hausdorff metric in the class of ultrametric spaces. It is proved, in particular, that the space of all ultrametric spaces whose metric take values in a fixed countable set is homeomorphic to the space of irrationals.

研究の動機と目的

• 超距離空間のクラス内におけるGromov-Hausdorff距離の自然な類似物を定義すること。
• 提案された距離 $\varrho_{GHu}$ が強い三角不等式を満たし、したがってコンパクトな超距離空間の同型類の空間上で超距離を定義することを確立すること。
• 距離が固定された可算集合 $K \subset \mathbb{R}_+$ に含まれる超距離空間からなる空間 $U(K)$ の位相的構造を調査すること。
• 0 が $K$ の非孤立点である条件のもとで、$U(K)$ の位相的同型型を特定すること。

提案手法

• コンパクトな超距離空間 $X$ と $Y$ を共通の超距離空間 $Z$ に等長埋め込みする際の、Hausdorff距離の下界として $\varrho_{GHu}(X,Y)$ を定義する。
• 超距離空間のコンパクト部分集合に対するHausdorff距離が、強い三角不等式を用いることで、自身が超距離であることを証明する。
• 共通部分集合で一致する2つの超距離空間の和集合に、$d(x_1,x_2) = \inf_{a \in A} \max\{d_1(x_1,a), d_2(a,x_2)\}$ の式を用いて距離を構成し、それが超距離条件を満たすことを検証する。
• $U(K)$、すなわち距離が固定された可算集合 $K \subset \mathbb{R}_+$ に含まれる超距離空間の空間が、コンパクトな超距離空間の全空間 $U$ の閉部分空間であることを示す。
• $U(K)$ が分離可能であり、局所的にコンパクトでないことを、有限の $\varepsilon$-ネットの構成と、小さな距離に新しい点を摂動させる方法を用いて証明する。
• 記述的集合論の結果を適用し、$K$ において 0 が非孤立点であるとき、$U(K)$ が無理数の空間と位相的に同型であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超距離空間のクラス内に、Gromov-Hausdorff距離の自然な類似物は存在するか？
• RQ2 提案された距離 $\varrho_{GHu}$ は、コンパクトな超距離空間の同型類の空間上で超距離であるか？
• RQ3 距離が固定された可算集合 $K \subset \mathbb{R}_+$ に含まれる超距離空間からなる空間 $U(K)$ の位相的構造は何か？
• RQ4 0 が $K$ の非孤立点であるとき、$U(K)$ は無理数の空間と位相的に同型であるか？
• RQ5 Gromov-Hausdorff枠組みは、一様に不連結な空間や実木構造などの他のクラスの距離空間に拡張可能か？

主な発見

• $\varrho_{GHu}$ は適切に定義されており、強い三角不等式を満たすため、コンパクトな超距離空間の同型類の空間上で超距離をなす。
• 任意の2点からなる異なる超距離空間で、距離が $[1/2,1]$ 内にあり $c_1 \neq c_2$ である場合、$\varrho_{GHu}(X_{c_1}, X_{c_2}) \geq 1/4$ が成り立つ。これは、同型でない空間に対して正の下界が存在することを示している。
• $K \subset \mathbb{R}_+$ に含まれる距離を持つ超距離空間の空間 $U(K)$ は、全空間 $U$ の閉部分空間である。
• $U(K)$ は分離可能である。これは、距離が $K$ に含まれる有限の超距離空間の部分空間が $U(K)$ で稠密であるためである。
• $U(K)$ は局所的にコンパクトでない。これは、任意の $U(K)$ 内の空間の近傍に無限離散集合を構成することで示された。
• 0 が $K$ の非孤立点であるとき、$U(K)$ は記述的集合論の結果を用いて、無理数の空間と位相的に同型であることが示された。