[論文レビュー] Gromov-Hyperbolicity of the ray graph and quasimorphisms on a big mapping class group

Juliette Bavard|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、カントール集合を除いた平面のレイヤー・グラフがグロモフ・ハイパーオリックであり、無限大径を持つことを確立し、これにより大きな写像類群Γに非自明な準同型写像を構成できる。このハイパーオリック空間への作用を用いて、著者らはΓの第二有界コホモロジーが無限次元であることを証明し、安定交換子長が消えるハイパーオリックな元の存在を示した。これはダンニィ・カレガリによるプログラムを満たす。

ABSTRACT

These notes are the English version of the paper "Hyperbolicité du graphe des rayons et quasi-morphismes sur un gros groupe modulaire". The mapping class group Gamma of the complement of a Cantor set in the plane arises naturally in dynamics. We show that the ray graph, which is the analog of the complex of curves for this surface of infinite type, has infinite diameter and is hyperbolic. We use the action of Gamma on this graph to find an explicit non trivial quasimorphism on Gamma and to show that this group has infinite dimensional second bounded cohomology. Finally we give an example of a hyperbolic element of Gamma with vanishing stable commutator length. This carries out a program proposed by Danny Calegari.

研究の動機と目的

• 平面からカントール集合を除いた空間の大きな写像類群Γを研究すること。これは、有界軌道を持つ平面への群作用を通じて自然に生じる。
• 曲線複体の無限型曲面版であるハイパーオリックな類似物たるレイヤー・グラフへのΓの作用を分析することで、Γの大規模幾何を理解すること。
• Γに非自明な準同型写像を構成し、第二有界コホモロジーが無限次元であることを示すこと。
• 安定交換子長が消えるハイパーオリックな元がΓに存在するかを特定すること。これはカレガリが提起した問いに応える。

提案手法

• 頂点をカントール集合の点から無限遠点への同値類としての適切なレイヤーからなる単体的複体としてレイヤー・グラフを定義し、互いに交わらないレイヤー間に辺を設ける。
• 距離が無限に増大するレイヤー列を構成することで、レイヤー・グラフが無限大径を持つことを証明する。
• レイヤー列に関する幾何的および帰納的議論を用いて、レイヤー・グラフのグロモフ・ハイパーオリック性を確立する。
• 交互に時計回りおよび反時計回りの回転を含む帰納的レイヤー構成を用いて、Γ内に軌道の直線上で平行移動する作用をもつloxodromicな元gを構成する。
• Γがハイパーオリックなレイヤー・グラフに作用することを用いて、測地線軸上の平行移動長を用いて非自明な準同型写像を定義する。
• 非自明な準同型写像の存在を活用し、Γの第二有界コホモロジーが無限次元であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面からカントール集合を除いた空間のレイヤー・グラフは、グロモフの意味でハイパーオリック的か？
• RQ2 レイヤー・グラフは無限大径を持ち、大きな写像類群の非自明な大規模幾何を示唆するか？
• RQ3 大きな写像類群Γがレイヤー・グラフに作用するのを用いて、非自明な準同型写像を構成できるか？
• RQ4 群Γは安定交換子長が消えるハイパーオリックな元を含むか？
• RQ5 Γの第二有界コホモロジー群の次元はいかほどか？

主な発見

• レイヤー・グラフが無限大径を持つことから、大きな写像類群の大規模幾何が非自明で複雑であることが示された。
• レイヤー・グラフがグロモフ・ハイパーオリックであるため、Γが非自明に作用するハイパーオリック空間が得られた。
• 測地線軸上の平行移動長を用いて、Γに非自明な準同型写像が構成された。
• 無限個の線形独立な準同型写像の存在により、Γの第二有界コホモロジー群が無限次元であることが示された。
• 安定交換子長が消えるハイパーオリックな元h ∈ Γが存在し、カレガリが提起した問いに答えが得られた。
• 群Γはレイヤー・グラフにloxodromically作用し、特定の元gが測地線列(γ_k)上で平行移動する作用をもち、すべてのn ∈ ℕに対してg^n(γ_0) = γ_{2n}を満たす。