[論文レビュー] Gromov-Monge quasi-metrics and distance distributions

Facundo Mémoli, Tom Needham|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2018

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、最適輸送とGromov-Hausdorffのアイデアを組み合わせることで、測度付き距離空間を比較するための新しい準距離、Gromov-Monge距離を導入する。特定の部分クラスにおいてこの距離が真の距離であることを証明し、距離分布を用いた多項式時間で計算可能な下界を導出する。これらの下界は、局所的に測度付き木を区別でき、平面曲線に対するCurve Histogram予想を反証することを示している。

ABSTRACT

Applications in shape analysis and object classification often require maps between metric spaces which preserve geometry as much as possible. In this paper, we combine the Monge formulation of optimal transport with the Gromov-Hausdorff construction to define a measure of the minimum amount of geometric distortion required to map one metric measure space onto another. We show that the resulting quantity, called Gromov-Monge distance, defines an extended quasi-metric on the space of isomorphism classes of metric measure spaces and that it can be promoted to a true metric on certain subclasses of mm-spaces. We also give precise comparisons between Gromov-Monge distance and several other metrics which have appeared previously, such as the Gromov-Wasserstein metric and the continuous Procrustes metric. Finally, we derive polynomial-time computable lower bounds for Gromov-Monge distance. These lower bounds are expressed in terms of classical invariants of mm-spaces called distance distributions. In the second half of the paper, which may be of independent interest, we study the discriminative power of these lower bounds for simple subclasses of metric measure spaces. We first consider the case of planar curves, where we give a counterexample to the Curve Histogram Conjecture of Brinkman and Olver. Next we show that one of our lower bounds distinguishes metric trees locally---trees which lie sufficiently close to one another in Gromov-Hausdorff distance are always distinguished---and generically with respect to a natural measure on the space of trees.

研究の動機と目的

• 最適輸送とGromov-Hausdorffのアイデアを組み合わせることで、測度付き距離空間間の新しい幾何的距離を定義すること。
• Gromov-Monge距離の理論的性質を確立すること、特に準距離としての構造と、それが真の距離となる条件を特定すること。
• 古典的不変量（距離分布など）を用いて、Gromov-Monge距離の計算効率の良い下界を導出すること。
• 特に平面曲線や測度付き木のような特定のクラスの測度付き距離空間に対して、これらの下界の識別力を評価すること。

提案手法

• Gromov-Monge距離を、最適輸送のMonge形式を用いて、1つの測度付き距離空間をもう1つに写像する際に必要な最小の幾何的歪みとして定式化する。
• Gromov-Hausdorffフレームワークを適用し、mm-空間間の歪みの尺度を定義することで、同型クラス上に拡張された準距離を導出する。
• 距離分布（空間内にある対ごとの距離の確率分布）に基づいて、Gromov-Monge距離の多項式時間で計算可能な下界を導出する。
• これらの下界を用いて、特に平面曲線と測度付き木のようなmm-空間の部分クラスにおける距離の識別力を分析する。
• 反例と局所的解析を用いて、下界の有効性を検証し、特にCurve Histogram予想の反証を含む。
• 木の空間における自然な測度に関して一般性の結果を適用し、下界が木を局所的および一般に区別できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適輸送とGromov-Hausdorffのアイデアを組み合わせることで、測度付き距離空間間の意味のある幾何的距離としてGromov-Monge距離を定義できるか？
• RQ2 Gromov-Monge距離が準距離ではなく真の距離となる条件は何か？
• RQ3 距離分布に基づいて導出された下界は、測度付き距離空間を区別するためにどれほど効果的か？
• RQ4 これらの下界は、平面曲線に対するCurve Histogram予想を反証するか？
• RQ5 下界は、測度付き木を局所的および一般に区別できるか？

主な発見

• Gromov-Monge距離は、測度付き距離空間の同型クラスの空間上で拡張された準距離であることが証明された。
• Gromov-Monge距離は、特定のmm-空間の部分クラスにおいて真の距離となることが確認され、理論的堅牢性が裏付けられた。
• 距離分布を用いた多項式時間で計算可能なGromov-Monge距離の下界が導出され、計算が効率的に行えるようになった。
• BrinkmanとOlverの平面曲線に関するCurve Histogram予想を反証する反例が提示された。
• 下界の1つは、Gromov-Hausdorff距離で近い木は常に区別可能であるという意味で、局所的に測度付き木を区別でき、かつ木の空間における自然な測度に関して一般に区別できる。