[論文レビュー] Gromov norm and Turaev-Viro invariants of 3-manifolds

Renaud Detcherry, Efstratia Kalfagianni|arXiv (Cornell University)|May 28, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元多様体のトゥラエフ＝ヴィロ不変量の高次の漸近的性質とそのグロモフノルムとの直接的な関係を確立する。TQFT、幾何的分解、および6j記号の解析的評価を組み合わせることで、$TV_r(M)$ の対数的成長率がグロモフノルムの線形関数によって上から抑えられることを証明し、明示的な普遍定数を示す。主な結果は、トーラス境界をもつコンパクトな向きつけ可能な3次元多様体 $M$ に対して、普遍的な上界 $LTV(M) \leq C \|M\|$ が成り立つことである。さらに、$SO(3)$-トゥラエフ＝ヴィロ不変量が指数関数的に増加する、無限個の双曲的3次元多様体の族を構成する。

ABSTRACT

We establish a relation between the "large r" asymptotics of the Turaev-Viro invariants $TV_r$ and the Gromov norm of 3-manifolds. We show that for any orientable, compact 3-manifold $M$, with (possibly empty) toroidal boundary, $\log |TV_r (M)|$ is bounded above by a function linear in $r$ and whose slope is a positive universal constant times the Gromov norm of $M$. The proof combines TQFT techniques, geometric decomposition theory of 3-manifolds and analytical estimates of $6j$-symbols. We obtain topological criteria that can be used to check whether the growth is actually exponential; that is one has $\log| TV_r (M)|\geqslant B \ r$, for some $B>0$. We use these criteria to construct infinite families of hyperbolic 3-manifolds whose $SO(3)$ Turaev-Viro invariants grow exponentially. These constructions are essential for the results of [DK:AMU] where the authors make progress on a conjecture of Andersen, Masbaum and Ueno about the geometric properties of surface mapping class groups detected by the quantum representations. We also study the behavior of the Turaev-Viro invariants under cutting and gluing of 3-manifolds along tori. In particular, we show that, like the Gromov norm, the values of the invariants do not increase under Dehn filling and we give applications of this result on the question of the extent to which relations between the invariants $TV_r$ and hyperbolic volume are preserved under Dehn filling. Finally we give constructions of 3-manifolds, both with zero and non-zero Gromov norm, for which the Turaev-Viro invariants determine the Gromov norm.

研究の動機と目的

• 3次元多様体のグロモフノルムを用いて、トゥラエフ＝ヴィロ不変量の漸近的成長率に対する普遍的な上界を確立すること。
• 成長率 $TV_r(M)$ が指数関数的である、すなわち $\log|TV_r(M)| \geq Br$（$B > 0$）となるような、位相的条件を特定すること。
• ドゥーンフィリングおよびトーラスに沿った貼り合わせにおけるトゥラエフ＝ヴィロ不変量の振る舞いを調べ、それらの操作によって不変量が増加しないことを示すこと。
• $SO(3)$-トゥラエフ＝ヴィロ不変量が指数関数的に増加する、明示的な双曲的3次元多様体の族を構成すること。
• 特定のクラスの3次元多様体に対して、トゥラエフ＝ヴィロ不変量が、グロモフノルムを完全に決定できることを示すこと、零でない場合も含め、両ケースをカバーする。

提案手法

• 著者らは、特に $q = e^{2\pi i / r}$ を用いた $SO(3)$-理論に注目し、$r$ 水準におけるトゥラエフ＝ヴィロ不変量の構造をTQFT的手法で分析する。
• 3次元多様体の幾何的分解理論、特にJSJ分解と双曲幾何を応用して、多様体 $M$ の位相的・幾何的構造を分析する。
• 関数 $v(\alpha,\beta,\gamma) = \Lambda(\alpha + \beta + \gamma) + \Lambda(\alpha + \beta - \gamma) + \Lambda(\alpha + \gamma - \beta) + \Lambda(\beta + \gamma - \alpha)$ の漸近展開と臨界点解析を用いて、$6j$-記号の解析的評価を導出する。ここで $\Lambda(x) = -\frac{1}{2} \log|2\sin x|$ である。
• 関数 $v$ の臨界点を分析することで、$6j$-記号の寄与の最大値を抑え、$\max v = \frac{v_8}{4}$ が得られ、$v_8 \simeq 1.83419$ である。
• 全トゥラエフ＝ヴィロ振幅に関して、変数 $Z, A_i, U_j, V_k$ の関数 $g$ を分析し、その最大値が $8\Lambda(\pi/8) \simeq 3.927488$ であることを示し、これが不変量に支配的寄与を与える。
• これらの漸近的評価を、多様体の分解に由来する位相的制約と組み合わせることで、普遍的な線形上界 $LTV(M) \leq C\|M\|$（$C \approx 8.3581 \times 10^9$）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元多様体 $M$ のグロモフノルム $\|M\|$ に対して、$r \to \infty$ のときのトゥラエフ＝ヴィロ不変量 $TV_r(M)$ の漸近的成長率はいかなるか？
• RQ2 どのような位相的条件下で $TV_r(M)$ は指数関数的に増加するか、すなわち $\log|TV_r(M)| \geq Br$（$B > 0$）を満たすか？
• RQ3 ドゥーンフィリングおよびトーラスに沿った貼り合わせにおいて、トゥラエフ＝ヴィロ不変量はどのように振る舞い、グロモフノルムと同様の単調性を示すか？
• RQ4 $SO(3)$-トゥラエフ＝ヴィロ不変量が指数関数的に増加する、明示的な双曲的3次元多様体の族を構成できるか？
• RQ5 トゥラエフ＝ヴィロ不変量は、零でも非零でもあるグロモフノルムを持つ多様体において、どの程度までグロモフノルムを特定できるか？

主な発見

• 本稿では、空またはトーラス境界をもつすべてのコンパクトで向きつけ可能な3次元多様体 $M$ に対して、普遍的上界 $LTV(M) \leq C\|M\|$ が成り立つことが確立された。ここで $C \approx 8.3581 \times 10^9$ である。
• ほとんどの双曲的リンク $L \subset S^3$ に対して、この上界は $LTV(S^3 \setminus L) \leq 10.5 \cdot \mathrm{vol}(S^3 \setminus L)$ に改善され、任意に1に近い $E > 1$ に対して、$LTV(M) \leq E \cdot \mathrm{vol}(M)$ を満たす無限族が存在する。
• 著者らは、$SO(3)$-トゥラエフ＝ヴィロ不変量が指数関数的に増加する、双曲的3次元多様体の無限族を構成した。これは $\log|TV_r(M)| \geq Br$（$B > 0$）を満たし、位相的条件を備えた最初の例である。
• ドゥーンフィリングによってトゥラエフ＝ヴィロ不変量は増加せず、グロモフノルムの性質と類似している。この単調性は、フィリングの下での $TV_r$ と双曲体積の関係の安定性を調べるのにも用いられた。
• $S^3$ や $S^1 \times S^2$ 内のリンクで、グロモフノルムが零である多様体に対して、$lTV(M) = LTV(M) = 0$ が成り立つ。これは、$TV_r$ がグロモフノルムの零化を検出できることを示している。
• 非零グロモフノルムを持つ3次元多様体の明示的族を構成し、$LTV(M) = \|M\|$ が成り立つことを示した。これは、特定の位相的状況下で、トゥラエフ＝ヴィロ不変量がグロモフノルムを正確に回復できることを示している。