[論文レビュー] Gromov-Wasserstein Distances between Gaussian Distributions

Antoine Salmona, Julie Delon+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、二つのガウス分布間のGromov-Wasserstein (GW) 距離を、二乗ユークリッドコストを用いて研究している。最適なカップリングがガウス計画に制限される場合、GW問題は線形解に帰着され、線形Gromov-Monge問題と同等になることが示され、一般のGW距離（このような制限なし）に対しては、タイトな下界と上界が得られる。

ABSTRACT

The Gromov-Wasserstein distances were proposed a few years ago to compare distributions which do not lie in the same space. In particular, they offer an interesting alternative to the Wasserstein distances for comparing probability measures living on Euclidean spaces of different dimensions. In this paper, we focus on the Gromov-Wasserstein distance with a ground cost defined as the squared Euclidean distance and we study the form of the optimal plan between Gaussian distributions. We show that when the optimal plan is restricted to Gaussian distributions, the problem has a very simple linear solution, which is also solution of the linear Gromov-Monge problem. We also study the problem without restriction on the optimal plan, and provide lower and upper bounds for the value of the Gromov-Wasserstein distance between Gaussian distributions.

研究の動機と目的

• 地面コストが二乗ユークリッド距離である場合の、ガウス分布間のGromov-Wasserstein距離を特徴づけること。
• カップリングがガウス計画に制限される場合の最適カップリングの構造を調査すること。
• カップリングに制限がないガウス分布間のGW距離に対して、解析的下界と上界を導出すること。
• ガウス制約の下で、GW問題と線形Gromov-Monge問題との間の関係を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、二つのガウス測度の積空間上で、二乗ユークリッドコストを用いたGromov-Wasserstein問題を定式化する。
• カップリング自体がガウス分布であるという制約の下で最適カップリングを導出し、線形解が得られる。
• トレースの恒等式と行列の対角化を用いて、妥当なカップリングの空間上でGW目的関数を最小化する。
• 行列式補題と固有値解析を用いて、得られた共分散構造の半正定値性を検証する。
• 数学的帰納法とベクトルの主要順序を用いて、単位球面上の順序付きベクトルを含む重要な不等式を証明する。
• カップリングパラメータの極値的構成を分析することで、GW距離の境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 源と標的分布がともにガウス分布である場合、最適なGromov-Wassersteinカップリングの形は何か？
• RQ2 最適カップリングがガウスに制限される場合、ガウス分布間のGW距離はどのように振る舞うか？
• RQ3 カップリング制限なしで、ガウス分布間のGW距離に対してタイトな解析的下界と上界を導出できるか？
• RQ4 ガウス測度に関して、Gromov-Wasserstein問題と線形Gromov-Monge問題の間に接続があるか？
• RQ5 共分散行列と平均値は、ガウス分布間のGW距離を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 最適カップリングがガウス分布に制限される場合、Gromov-Wasserstein問題は、線形Gromov-Monge問題の解と一致する閉形式の線形解を有する。
• 源と標的がガウス分布である場合、最適カップリングは、特定のアフィン変換構造を持つ退化したガウス測度である。
• 著者たちは、共分散行列のトレースとその幾何平均に基づいたGW距離の下界を導出する。
• 平均ベクトルの外積と正規化された共分散行列を用いた妥当なカップリングの構築により、上界が確立される。
• 最もタイトな下界は、カップリングが共分散行列の主成分と整合する場合に達成される。
• 証明における重要な不等式の等号成立条件は、一方のベクトルが最初の標準基底ベクトルと一致し、他方が単位球面上で一様である場合に成立する。