[論文レビュー] Gromov-Witten invariants for G/B and Pontryagin product for ΩK

Naichung Conan Leung, Changzheng Li|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2008

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ひとこと要約

この論文は、基底ループ群 $\Omega K$ の等化同調ホモロジー上のポンティリャーギン積を導出し、旗多様体 $G/B$ の量子コホモロジー環における等化同調量子シューベルト構造定数の明示的公式を提供する。主な結果は、有理関数 $c_{x,[y]}$ と $d_{x,[y]}$ を含む有限で組合せ的な公式であり、コワイトペアの有限集合上の和として3点付加の genus zero グロモフ＝ウィトテン不変量を計算する。度条件 $\langle\lambda,2\rho\rangle = \ell(u)+\ell(v)-\ell(w)$ を満たす場合、結果は定数となる。

ABSTRACT

We give an explicit formula for (T-equivariant) 3-pointed genus zero Gromov-Witten invariants for G/B. We derive it by finding an explicit formula for the equivariant Pontryagin product on the homology of the based loop group ΩK.

研究の動機と目的

• 量子コホモロジー環 $QH^*_{T}(G/B)$ における (等化同調) 量子シューベルト構造定数の明示的公式を提供すること。これは、genus zero グロモフ＝ウィトテン不変量を組み込むことで、古典的シューベルト構造定数を一般化する。
• 旗多様体 $G/B$ の等化同調量子コホモロジーと、基底ループ群 $\Omega K$ の等化同調ホモロジー上のポンティリャーギン積との間の関係を確立すること。ホモトピー同値 $\Omega_{\text{an}}K \simeq \Omega K$ を利用する。
• 有理関数 $c_{x,[y]}$ と $d_{x,[y]}$ を用いて、3点付加の genus zero グロモフ＝ウィトテン不変量 $N_{u,v}^{w,\lambda}$ の有限で組合せ的な表現を導出すること。これは度条件 $\langle\lambda,2\rho\rangle = \ell(u)+\ell(v)-\ell(w)$ を満たす場合に有効である。

提案手法

• 著者らは、基底ループ群 $\Omega K$ 及びその等化同調ホモロジーの構造に基づき、アフィンワイル群 $W_{\text{af}} = W \ltimes Q^\vee$ の元 $x,y$ に対して、有理関数 $c_{x,[y]}$ と $d_{x,[y]}$ を組合せ的に定義する。
• ホモロジー $H_*^{T}(\Omega K)$ 上のポンティリャーギン積を $p_{x,y}^z = \sum_{v \in W_{\text{af}}^-} d_{x,v} d_{y,v} c_{z,v}$ という式で表現し、これを量子シューベルト構造定数の計算に用いる。
• 量子シューベルト構造定数の主な公式は、$N_{u,v}^{w,\lambda} = \sum_{\lambda_1,\lambda_2 \in Q^\vee} c_{ut_A,[t_{\lambda_1}} c_{vt_A,[t_{\lambda_2}} d_{wt_{2A+\lambda},[t_{\lambda_1+\lambda_2}}]$ として得られる。ここで $A = -\frac{1}{2}n(n+1)\sum_{i=1}^n w_i^\vee$ であり、和は有限集合 $\Gamma \times W$ に還元される。
• 有限和は、$\lambda_1, \lambda_2 \succcurlyeq A$ および $\lambda_1 + \lambda_2 \preccurlyeq 2A + \lambda$ と制限することで達成され、$\lambda_1, \lambda_2 \in \tilde{Q}^\vee$ であることから、非ゼロ項は有限個に制限される。
• 評価写像 $\text{ev}: \hat{S} \to S$ を用いて $T$-等化同調設定に拡張する。この写像は、ゼロ根 $\delta = \alpha_0 + \theta$ をゼロに送り、$T$-等化同調構造定数を $\tilde{p}_{x,y}^z = \sum_{v \in W_{\text{af}}^-} d_{x,[v]} d_{y,[v]} c_{z,[v]}$ として表現する。
• この手法は、$\mathcal{G}/\mathcal{P}_0 \simeq \Omega K$ のブルアット分解に基づく。これにより、$H_*(\Omega K, \mathbb{Z})$ 上にシューベルト基底が誘導され、$\mathcal{G}/\mathcal{B}$ の $\hat{T}$-等化同調構造を用いて、コホモロジー類を $\Omega K$ の類と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンワイル群からの組合せ的データを用いて、$G/B$ の等化同調量子シューベルト構造定数 $N_{u,v}^{w,\lambda}$ を明示的に計算する方法は何か？
• RQ2 基底ループ群 $\Omega K$ の等化同調ホモロジー上のポンティリャーギン積と、量子コホモロジー環 $QH^*_{T}(G/B)$ の間の明確な関係は何か？
• RQ3 グロモフ＝ウィトテン不変量におけるコワイトパラメータに関する無限和を、コワイトパラメータの組合せ的制約によって有限和に縮小できるか？
• RQ4 パラメータ $A = -\frac{1}{2}n(n+1)\sum_{i=1}^n w_i^\vee$ は構造定数を単純化する役割を果たすが、特定の状況ではより小さいものに置き換え可能か？
• RQ5 有理関数 $c_{x,[y]}$ と $d_{x,[y]}$ は、基底ループ群の幾何をどのように表現し、グロモフ＝ウィトテン不変量の明示的評価を可能にするのか？

主な発見

• 量子シューベルト構造定数 $N_{u,v}^{w,\lambda}$ は、$\Gamma \times W$ 上の有限和として与えられる。ここで $\Gamma$ は $\lambda_1, \lambda_2 \succcurlyeq A$、$\lambda_1 + \lambda_2 \preccurlyeq 2A + \lambda$、$\lambda_1, \lambda_2 \in \tilde{Q}^\vee$ を満たすコワイトペアの有限集合である。公式は $N_{u,v}^{w,\lambda} = \sum_{(\lambda_1,\lambda_2,v_1) \in \Gamma \times W} c_{ut_A,[v_1 t_{\lambda_1}} c_{vt_A,[v_1 t_{\lambda_2}} d_{wt_{2A+\lambda},[v_1 t_{\lambda_1+\lambda_2}}]$ である。
• $G = SL(3,\mathbb{C})$ に対して、$u = v = s_1 s_2 s_1$、$w = s_1 s_2$、$\lambda = \theta^\vee$ の場合、公式により $N_{u,v}^{w,\lambda} = 1$ が得られ、$(-1/\theta)^2 \cdot \theta^2 = 1$ として計算される。これはミハルチェアのアルゴリズムと整合する。
• この公式は $\langle\lambda, 2\rho\rangle = \ell(u) + \ell(v) - \ell(w)$ のときのみ有効であり、それ以外では $N_{u,v}^{w,\lambda} = 0$ となる。これにより、度の制約が正しく満たされる。
• パラメータ $A$ は一意ではない。多くの場合、$A = -\theta^\vee$ のようにより小さいものに置き換え可能であり、計算が簡略化される。
• 有理関数 $c_{x,[y]}$ と $d_{x,[y]}$ は組合せ的に定義され、$H_*^T(\Omega K)$ 上のポンティリャーギン積を表現する。これにより、$QH^*_{T}(G/B)$ 上の量子積が計算可能になる。
• $T$-等化同調シューベルト構造定数は、評価写像 $\text{ev}: \hat{S} \to S$ を用いて回復され、$\alpha_0 = -\theta$ とされる。得られる $S$ 上の多項式は、$T$-等化同調構造定数 $\tilde{p}_{x,y}^z = \sum_v d_{x,[v]} d_{y,[v]} c_{z,[v]}$ と一致する。