[論文レビュー] Gromov-Witten invariants for varieties with C* action

Anca Mustaţǎ, Andrei Mustaţǎ|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ℂ*-作用をもつ滑らかで射影的代数的多様体のGromov-Witten不変量を計算するための仮想局所化フレームワークを構築する。このフレームワークは、固定点集合の不変量への還元と、スタック的GITおよびBialynicki-Birula分解を用いた明示的モジュライ空間M_{ω,2}の構成により、問題を解決する。主な貢献は、普遍族の逆極限と重み付き吹き上げを用いて、仮想正規バンドルおよび仮想基本類の固定部の体系的な計算がなされたことである。

ABSTRACT

For any smooth projective variety with a C* action, we reduce the problem of computing its Gromov-Witten invariants to the similar problem for its fixed locus. Starting from the stacky version of variation of GIT for our variety, we construct the building blocks for the fixed loci of the moduli space of stable maps. We use this construction to compute their contribution to the virtual fundamental class.

研究の動機と目的

• 強いトーラス作用をもつ多様体に限らない、一般の滑らかで射影的多様体にℂ*-作用をもつ場合にまで仮想局所化技術を拡張すること。
• 固定点集合への還元とM_{ω,2}の成分の解析により、安定写像のモジュライ空間の仮想基本類を計算すること。
• 逆極限によるスタック的GIT商と重み付き吹き上げを用いたモジュライ空間の階層的構成により、障害理論の寄与を計算すること。
• 仮想基本類の固定部および可動部の明示的公式を、正規バンドルおよび等置換エーラー類の言語で導出すること。
• 非一般な軌道類およびM_{ω,2}内のオルビフォールド成分を、インertiaスタックとBialynicki-Birula層からの引き戻しを用いて取り扱うこと。

提案手法

• XおよびそのBialynicki-Birula層に対して、GITの変種のスタック的バージョンを構築し、ℂ*-作用をもつ安定写像のモジュライ空間をモデル化する。
• M_{ω,2}をスタック的商と普遍族の逆系の逆極限として定義し、階層的構造を持つモジュライ空間、ファミリー、評価写像のネットワークを形成する。
• 逆極限構造を用いて、[M]の定理6.3により仮想基本類の固定部を計算し、障害理論の等置換エーラー類により可動部を計算する。
• 【B2】の積公理を適用し、固定点集合に沿った接バンドルの正負の重み空間への仮想正規バンドルの寄与を分解する。
• 非一般な軌道類の場合は、中間層からの引き戻しを用い、有限部分群（例：ℤ_n）の作用を考慮してオルビフォールド成分をモデル化する。
• 仮想正規バンドルを、重みwとインデックスlの範囲で、障害層Q_w,±およびP_w,±にテンソル積をとった等置換ラインバンドルの和として表現し、係数は作用重みに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想局所化は、有限個の軌道をもたない滑らかで射影的多様体にℂ*-作用をもつ場合に、どのように一般化可能か？
• RQ2 ℂ*-多様体の安定写像のモジュライ空間における固定点集合の構造は何か？また、装飾付きグラフを用いてどのようにインデックス化できるか？
• RQ3 ホモロジー類が一般軌道の倍数でない場合、M_{ω,2}の仮想基本類はどのように計算可能か？
• RQ4 スタック的GIT商と重み付き吹き上げは、M_{ω,2}上の普遍ファミリーの構成にどのように寄与するか？
• RQ5 障害理論の可動部と固定部の寄与は、どのように組み合わせて全仮想クラスを得られるか？

主な発見

• 安定写像のモジュライ空間の仮想基本類は、固定点集合成分F_Γへの和に還元され、寄与は[F_Γ]^{vir} / e^{ℂ*}(N^{vir}_{F_Γ})で与えられる。
• 主要成分M_{ω,2}は、スタック的GIT商とその普遍ファミリーの系の逆極限として構成され、Bialynicki-Birula層に基づく階層的構造を持つ。
• ω = ((u₀,u∞), nβ)の場合、空間M_{ω,2}は(M_{(0,k)}(X)/ℤ_n)に同型であり、その仮想クラスはファイバー積と等置換エーラー類を用いて計算される。
• M_{ω,2}の仮想正規バンドルは、障害層Q_w,±およびP_w,±上の等置換ラインバンドルの和として表現され、係数は作用重みとインデックスに依存する。
• βが一般軌道類でない場合、M_{ω,2}は(M_{(j,q)}(X)/ℤ_n)に埋め込まれ、仮想クラスの固定部は正規コーン上の射影バンドルの積で与えられる。
• 有理的クラスω = ((u,v), n/m β)の場合、仮想正規バンドルにはスケーリングされた重み(lm)が入り込み、ℤ_mが正規バンドルに非自明に作用する固定点集合X_mからの寄与が含まれる。