[論文レビュー] Gromov-Witten invariants of CP^1 and integrable hierarchies

Todor Milanov|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2005

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、アフィン直線上の微分作用素代数における頂点作用素を用いて定義されるヒロタ双線形方程式を通じて、$Χ P^1$ のグロモフ＝ミラーワイナー不変量を記述する拡張トーダ階層（ETH）のτ関数形式を提示する。主な貢献は、頂点作用素値ヒロタ方程式を通じたETHの可積分構造の新しい実現であり、可積分系を用いた量子コホモロジーの研究のための新しい代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The Extended Toda Hierarchy (shortly ETH) was introduce by E. Getzler \cite{Ge} and independently by Y. Zhang \cite{Z} in order to describe an integrable hierarchy which governs the Gromov--Witten invariants of $\C P^1$. The {\em Lax type} presentation of the ETH was given in \cite{CDZ}. In this paper we give a description of the ETH in terms of {\em tau-functions} and Hirota Quadratic Equations (known also as Hirota Bilinear Equations). A new feature here is that the Hirota equations are given in terms of vertex operators taking values in the algebra of differential operators on the affine line.

研究の動機と目的

• Gromov-Witten不変量の$Χ P^1$ を記述する拡張トーダ階層（ETH）のτ関数的記述を提供すること。
• ヒロタ2次方程式を用いてETHを再形式化し、その可積分構造に対する新しい代数的視点を提供すること。
• アフィン直線上の微分作用素代数に値をとる頂点作用素を、形式化の中心的道具として導入すること。
• 量子コホモロジーと可積分階層の間の関係を、新しいヒロタ型形式を通じて確立すること。

提案手法

• ETHは、解の全階層を符号化するτ関数の観点から形式化される。
• ヒロタ双線形方程式は、τ関数を支配する基本方程式として導出される。
• アフィン直線上の微分作用素代数に値をとる頂点作用素が構成される。
• これらの頂点作用素を用いて、ヒロタ方程式を非反交換的、作用素値設定で表現する。
• 微分作用素代数の代数的構造が、頂点作用素の作用を定義するために活用される。
• 得られた方程式は、ETHの可積分構造の新しい実現を提供し、頂点作用素代数と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張トーダ階層は、τ関数およびヒロタ双線形方程式を用いてどのように再形式化できるか？
• RQ2 アフィン直線上の微分作用素代数における頂点作用素は、ETHの枠組み内で果たす役割は何か？
• RQ3 ヒロタ方程式の作用素値形式によって、ETHの可積分構造を記述できるか？
• RQ4 この頂点作用素に基づく形式化は、$Χ P^1$ のグロモフ＝ミラーワイナー不変量とどのように関係するか？
• RQ5 微分作用素代数における頂点作用素を用いてETHを表現することで、どのような新しい代数的構造が生じるか？

主な発見

• 拡張トーダ階層は、$Χ P^1$ のグロモフ＝ミラーワイナー不変量のための新しい可積分構造を提供するτ関数の観点から成功裏に再形式化された。
• アフィン直線上の微分作用素代数に値をとる頂点作用素を用いて、ヒロタ双線形方程式が構成された。
• 頂点作用素は、ヒロタ方程式の非反交換的実現を提供し、ETHの代数的枠組みを豊かにした。
• 得られた形式化は、可積分系を用いた量子コホモロジーの研究のための新しい代数的メカニズムを提供する。
• 本稿は、作用素値ヒロタ方程式を通じて、$Χ P^1$ の幾何と可積分階層の代数的構造との直接的な関係を確立した。