[論文レビュー] Gromov-Witten invariants of general symplectic manifolds

Bernd Siebert|ArXiv.org|Aug 12, 1996

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用数 59

ひとこと要約

本稿は、Kuranishi構造とBanach orbibundle上のFredholmセクションを用いて仮想基本類を構成することにより、任意のシンプレクティック多様体に対するGromov-Witten不変量の完全に一般な理論を確立し、シンプレクティック変形のもとでの不変性を証明し、FanoやCalabi-Yau多様体に限定されない理論の拡張を達成した。

ABSTRACT

We present an approach to Gromov-Witten invariants that works on arbitrary (closed) symplectic manifolds. We avoid genericity arguments and take into account singular curves in the very formulation. The method is by first endowing mapping spaces from (prestable) algebraic curves into the symplectic manifold with the structure of a Banach orbifold and then exhibiting the space of stable $J$-curves (``stable maps'') as zero set of a Fredholm section of a Banach orbibundle over this space. The invariants are constructed by pairing with a homology class on the locally compact topological space of stable $J$-curves that is generated as localized Euler class of the section.

研究の動機と目的

• 任意のシンプレクティック多様体に対して、第一チャーン類の正性条件を要しない一般のGromov-Witten不変量理論の構築。
• 擬全純曲線のモジュライ空間における「悪い部分集合」（無限遠での特異性）を適切に扱うことで、古典的な横断性および一般性の議論の限界を克服すること。
• Kuranishi構造とBanach層上のFredholmセクションを用いて、正則性が成立しない状況でも仮想基本類を構成すること。
• 得られた不変量が、シンプレクティック変形類内でのほぼ複素構造の選択に依存しないことを証明すること。
• 代数幾何におけるGromov-Witten理論との比較の基盤を築き、最終的にはシンプレクティックおよび代数的不変量の統一を目指すこと。

提案手法

• プレスタブル曲線からシンプレクティック多様体 (M,ω) への安定連続写像のBanach orbibundleを、プレスタブル曲線の変形理論と局所均一化子を用いて構成する。
• 擬全純写像のモジュライ空間を、写像空間上のBanach orbibundleの微分可能Fredholmセクション $ s_{\bar{\partial},J} $ の零点集合としてモデル化する。
• Banach orbibundle上での局所的オイラー類の理論を適用し、障害 bundle のオイラー類のPoincaré双対として仮想基本類 $ \mathcal{GW} $ を定義する。
• Kuranishi構造を用いて特異点を解消し、仮想サイクルが選択に依存せず定義可能であることを保証する。
• 1パラメータ族のほぼ複素構造 $ \{J_t\} $ の上に連続なセクション族 $ s_{\bar{\partial},\{J_t\}} $ を構成し、相対Poincaré双対性の議論により不変性を証明する。
• 評価写像を用いた仮想基本類のプッシュフォワードとしてGW不変量を定義し、M上のコホモロジー類とPoincaré双対性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正接バンドルやその他の曲率条件を要件としない一般のシンプレクティック多様体に対し、Gromov-Witten不変量を定義可能か？
• RQ2 ノード的領域やバブル現象を含むモジュライ空間をどのようにコンパクト化すれば、良好に定義された仮想基本類を保てるか？
• RQ3 横断性が成立しない状況においても、Kuranishi構造とFredholmセクションを用いて仮想基本類を構成可能か？
• RQ4 得られた不変量は、シンプレクティック変形類内でのほぼ複素構造の選択に依存しないか？
• RQ5 比較定理を用いて、シンプレクティックGromov-Witten理論を代数幾何のそれと整合可能にすることができるか？

主な発見

• 本稿は、Kuranishi構造とBanach orbibundle上のFredholmセクションを用いて、安定写像のモジュライ空間のホモロジーにおける仮想基本類 $ \mathcal{GW} $ を構成した。
• GW不変量は $ p_*\left(\mathcal{GW} \cap \mathrm{ev}^*(\alpha_1 \times \cdots \times \alpha_k)\right) $ として定義され、ほぼ複素構造 $ J $ の選択に依存しないことが示された。
• 不変量はシンプレクティック変形不変量であることが示された：同じシンプレクティック形式に tame な1パラメータ族 $ \{J_t\} $ に対して不変のままである。
• 仮想接バンドル $ \mathrm{ind}\,s_{\bar{\partial},J} $ は、orbibundleのグロチェンディーク群の元として定義され、モジュライ空間の接バンドルを一般化する。
• Kuranishiモデルにおける選択に依存しない一意的な仮想基本類が構成され、一貫性が保証された。
• 理論は仮想接バンドルの特性類および追加のタウトロジカルクラス（例えば、マークド点における接空間のチャーン類）を含めるように拡張可能である。