[論文レビュー] Gromov-Witten invariants of $\mathbb{P}^1$ coupled to a KdV tau function

Paul Norbury|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、KdV階層のBrezin-Gross-Witten tau関数から導かれるコhomology類 $Θ_{g,n}$ を用いて、$π^1$ に対する $Θ$-Gromov-Witten 不変量を定義する。これらの不変量はランダム行列積分によって記述可能であり、Toda方程式を満たすことが示され、Gromov-Witten理論、可積分系、行列モデルの間の新たな関係が確立される。

ABSTRACT

We consider the pull-back of a natural sequence of cohomology classes $Θ_{g,n}\in H^{2(2g-2+n)}(\overline{\cal M}_{g,n})$ to the moduli space of stable maps ${\cal M}^g_n(\mathbb{P}^1,d)$. These classes are related to the Brézin-Gross-Witten tau function of the KdV hierarchy via $Z^{BGW}(\hbar,t_0,t_1,...)=\exp\sum\frac{\hbar^{2g-2}}{n!}\int_{\overline{\cal M}_{g,n}}Θ_{g,n}\cdot\prod_{j=1}^nψ_j^{k_j}\prod t_{k_j}$. Insertions of the pull-backs of the classes $Θ_{g,n}$ into the integrals defining Gromov-Witten invariants define new invariants which we show in the case of target $\mathbb{P}^1$ are given by a random matrix integral and satisfy the Toda equation.

研究の動機と目的

• Gromov-Witten 不変量を Brézin-Gross-Witten tau 関数から得られるコhomology類 $Θ_{g,n}$ と結合することで、$Θ$-Gromov-Witten 不変量を定義・研究すること。
• $\mathbb{P}^1$ を標的空間とする場合のこれらの不変量の構造を、特に生成関数および可積分性の性質について調査すること。
• $Θ$-Gromov-Witten 不変量とランダム行列積分との関係を確立し、これら不変量の新たな実現を与えること。
• $Θ$-Gromov-Witten 不変量が Toda 方程式を満たすことを示し、背後にある可積分構造を明らかにすること。

提案手法

• $\overline{\cal M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,d)$ の仮想基本クラス上での $Θ_{g,n}^{X}$ のプッシュバック類の積分により、$Θ$-Gromov-Witten 不変量を定義する。
• $\overline{\cal M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,d) \to \overline{\cal M}_{g,n}$ の忘却写像 $p$ を用いて、曲線のモジュライ空間から $\Theta_{g,n}$ をプッシュバックする。
• $\tau_k(\omega)$ および $\tau_k(1)$ の挿入を持つ不変量の生成関数から、自由エネルギー $F^\Theta_{\mathbb{P}^1}$ と分配関数 $Z^\Theta_{\mathbb{P}^1}$ を構成する。
• $\hbar = N^{-1}$ および $t_k = 0$ と置いたとき、分配関数が $[-2,2]^N$ 上での Vandermonde 行列式を伴う積分としてのランダム行列積分の漸近展開と一致することを証明する。
• 量子曲線および波動関数の構造を解析することで、分配関数に対する Toda 方程式を導出する。
• Toda 方程式と拡散方程式を用いて、0点不変量および $\lambda_{g-1}$ と $\Theta_g$ を含むホッジ積分を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^1$ に対する $Θ$-Gromov-Witten 不変量はランダム行列積分とどのように関係するか？
• RQ2 $Θ$-Gromov-Witten 不変量は Toda 方程式を満たすか？ もし満たすならば、それは可積分構造をどのように反映するか？
• RQ3 0点 $Θ$-Gromov-Witten 不変量の明示的形は何か？ また、ホッジ積分とどのように関係するか？
• RQ4 分配関数は行列モデル積分の漸近展開として表現可能か？
• RQ5 $Θ$-類はモジュライ空間 $\overline{\cal M}_g$ 内のホッジ類 $\lambda_{g-1}$ とどのように作用するか？

主な発見

• $\mathbb{P}^1$ に対する分配関数 $Z^\Theta_{\mathbb{P}^1}$ は、ランダム行列積分の漸近展開と一致する：$Z^\Theta_{\mathbb{P}^1}(\hbar=N^{-1}, \{s_k\}, \{t_k=0\}) = \frac{c}{N!} \int_{[-2,2]^N} \prod_{i<j}(x_i - x_j)^2 \exp\left(N \sum_{k \geq 0} s_k \sum_{i=1}^N x_i^{k+1}\right) dx_1 \cdots dx_N$。
• 0点 $Θ$-Gromov-Witten 不変量は $F_g = \frac{(1 - 2^{-2g})}{g(g-1)} B_{2g}$ を満たす。ここで $B_{2g}$ はベルヌーイ数である。
• 生成関数 $\sum_{g>1} \hbar^{2g-2} \int_{\overline{\cal M}_g} \lambda_{g-1} \Theta_g$ は $\frac{1}{128}\hbar^2 + \frac{1}{512}\hbar^4 + \frac{17}{12288}\hbar^6 + \cdots$ に等しい。
• 1点および2点不変量（次数1）は量子曲線を用いて計算される：$H_1(\hbar) = \hbar^{-2} + \frac{1}{4 - \hbar^2}$ および $G_1(\hbar) = -\hbar^{-2} + \frac{1}{4 - \hbar^2}$。
• 分配関数は Toda 方程式に従う：$\frac{Z_0(\frac{\hbar}{1-\hbar}) Z_0(\frac{\hbar}{1+\hbar})}{Z_0(\hbar)^2} = \frac{4}{4 - \hbar^2}$ であり、0点系列を決定する。
• 0点不変量は $Z_0 = \exp\left(\sum \left(\frac{\hbar}{1 - t_0}\right)^{2g-2} F_g\right)$ を満たし、ホッジ積分は拡散方程式および $\int_{\overline{\cal M}_{g,n+1}} \lambda_{g-1} \Theta_{g,n+1} = (2g - 2 + n) \int_{\overline{\cal M}_{g,n}} \lambda_{g-1} \Theta_{g,n}$ によって決定される。