[論文レビュー] Gromov-Witten invariants of symplectic quotients and adiabatic limits

Ana Rita Gaio, Dietmar Salamon|ArXiv.org|Jun 19, 2001

Geometric and Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン群作用を伴うシンプレクティック多様体の等長コホロジーとそのシンプレクティック商の量子コホロジーの間の環準同型を確立し、アダイアティック極限過程を介して接続とミオム・マップを用いることで、環境空間における非線形楕円型偏微分方程式系を介して定義される genus zero Gromov–Witten 不変量が、単調な場合にその商におけるそれらに対応することを示している。主な結果は、接続とミオム・マップを含むアダイアティック極限プロセスを通じて不変量を結びつけるものである。

ABSTRACT

We study pseudoholomorphic curves in symplectic quotients as adiabatic limits of solutions of a system of nonlinear first order elliptic partial differential equations in the ambient symplectic manifold. The symplectic manifold carries a Hamiltonian group action. The equations involve the Cauchy-Riemann operator over a Riemann surface, twisted by a connection, and couple the curvature of the connection with the moment map. Our main theorem asserts that the genus zero invariants of Hamiltonian group actions defined by these equations are related to the genus zero Gromov--Witten invariants of the symplectic quotient (in the monotone case) via a natural ring homomorphism from the equivariant cohomology of the ambient space to the quantum cohomology of the quotient.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン G-多様体の Gromov–Witten 不変量とそのシンプレクティック商のそれらとの関係を明らかにすること。
• 環境多様体における非線形楕円型偏微分方程式系の解のアダイアティック極限として、シンプレクティック商における擬全純曲線を分析すること。
• 環境空間の等長コホロジーから商の量子コホロジーへの自然な環準同型を確立すること。
• 環境空間における偏微分方程式系を介して定義される genus zero 不変量が、単調な場合に標準的な商の Gromov–Witten 不変量と一致することを証明すること。
• シンプレクティック削減の下での量子不変量の理解のための幾何学的・解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• リーマン面上で、コーシー＝リーマン作用素と接続およびミオム・マップを結合する一階非線形楕円型偏微分方程式系を定式化する。
• リーマン面上の主 bundle 上の接続を用い、その曲率項が方程式を通じてミオム・マップと関連づけられる。
• 環境多様体上のシンプレクティック形式をスケーリングし、商構造を強調するアダイアティック極限手順を適用する。
• 接続とミオム・マップに関連するベクトル場を含む、シンプレクティック幾何学とゲージ理論の技術を用いる。
• ミオム・マップの等高線集合に沿った接線成分と法線成分への分解を用いて、偏微分方程式系の線形化作用素を分析する。
• 線形化作用素の恒等式を導出するために、リー微分と共変微分に関する補題に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調な場合に、ハミルトニアン G-多様体の Gromov–Witten 不変量は、そのシンプレクティック商のそれらとどのように関係するか？
• RQ2 環境多様体における結合偏微分方程式系の解の極限として、商における擬全純曲線が出現できるか？
• RQ3 環境空間の等長コホロジーから商の量子コホロジーへの自然な環準同型が存在し、genus zero 不変量を保存するか？
• RQ4 ミオム・マップと接続の曲率は、環境空間と商空間における不変量の対応を媒介する役割を果たすか？
• RQ5 アダイアティック極限プロセスは、元の多様体の等長不変量から、シンプレクティック商の量子コホロジー構造をどのように回復するか？

主な発見

• 環境空間の等長コホロジー H*(MG) から商の量子コホロジー QH*(M̄) への自然な環準同型 φ が存在する。
• 環境多様体における偏微分方程式系を介して定義される genus zero Gromov–Witten 不変量は、φ による作用で商の標準的な genus zero 不変量に写される。
• 不変量の図式は可換である：φ と商の量子不変量の合成は、偏微分方程式系によって定義される不変量に一致する。
• この対応は、シンプレクティック商が単調であるという仮定のもとで成り立ち、量子コホロジーが適切に定義可能であることを保証する。
• 偏微分方程式系の線形化作用素は接線成分と法線成分に分解され、リー微分と共変微分を用いた恒等式が導出される。
• 証明は、線形化作用素の詳細な解析に依存しており、接続と曲率項のリー微分に関する恒等式が含まれる。