[論文レビュー] Gromov-Witten invariants of the Hilbert scheme of 3-points on P^2

Dan Edidin, Wei-Ping Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、障害バンドル手法、合成法則、および等長局所化を用いて、射影平面 ℙ² 上の3点のヒルベルトスクリーン Hilb³(ℙ²) の3点種数0 Gromov-Witten不変量を計算する。これらの不変量はヘイゼンバーグ代数作用素を用いて明示的な式で与えられ、Ruanの量子補正に関する予想が検証され、Mathematica を用いた記号計算により、次数 d ≤ 4 に対して重要な2点不変量が計算され、正確な値 −27, 27/2, 18, 27/4 が得られる（d = 1 から 4 に対応）。

ABSTRACT

Using obstruction bundles, composition law and the localization formula, we compute certain 3-point genus-0 Gromov-Witten invariants of the Hilbert scheme of 3-points on the complex projective plane. Our results partially verify Ruan's conjecture about quantum corrections for this Hilbert scheme.

研究の動機と目的

• ℙ² 上の3点のヒルベルトスクリーンの3点種数0 Gromov-Witten不変量を計算すること。
• ヒルベルト＝チャウ写像によって収縮する曲線、特に dβ₃ に同値なものの寄与を特定すること。
• このヒルベルトスクリーンの量子コホモロジー環におけるRuanの予想（量子補正）を検証すること。
• 等長局所化と記号計算を用いて、次数 d ≤ 4 に対して、重要な2点不変量 ⟨PD(𝔞₋₃(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩)⟩₀,d を明示的に計算すること。

提案手法

• 3点不変量を2点不変量またはより単純な3点ケースに還元するために、障害バンドル技法と合成法則を用いる。
• Gómez と Pantev の仮想局所化公式を用い、ℙ² 上の (ℂ*)²作用の下での不変量を計算する。
• 2点不変量の計算を、次数制約付きの安定グラフの和に還元する。
• Mathematica における記号計算を用いて、次数 d ≤ 4 における和を評価する。
• 各安定グラフの不変量への寄与を表す明示的な有理関数 fₖ,ᵢ,ⱼ を導出する。
• ポincare双対性とヘイゼンバーグ代数生成子を用いて、コホモロジー類を |0⟩ 状態で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影平面 ℙ² 上の3点のヒルベルトスクリーンの3点種数0 Gromov-Witten不変量は何か？
• RQ2 どの3点不変量が非ゼロであり、それらの値はヘイゼンバーグ代数作用素を用いてどのように表されるか？
• RQ3 次数が小さい d に対して、2点不変量 ⟨PD(𝔞₋₃(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩)⟩₀,d の値は何か？
• RQ4 計算された不変量は、このヒルベルトスクリーンにおけるRuanの予想（量子補正）を支持するか？
• RQ5 局所化と記号計算法を用いて、d ≤ 4 に対して2点不変量を明示的に計算できるか？

主な発見

• 2点不変量 ⟨PD(𝔞₋₃(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩)⟩₀,d は d = 1 から 4 に対して正確に計算され、それぞれ −27, 27/2, 18, 27/4 である。
• d = 1 のとき、3点不変量 ⟨PD(𝔞₋₂(X)𝔞₋₁(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₂(X)𝔞₋₁(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₁(X)𝔞₋₂(ℓ)|0⟩)⟩₀,1 は −24 に等しい。
• d = 1 のとき、3点不変量 ⟨PD(𝔞₋₃(X)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩, PD(𝔞₋₂(X)𝔞₋₁(ℓ)|0⟩)⟩₀,1 は −54 に等しい。
• d = 1 のとき、3点不変量 ⟨PD(𝔞₋₃(X)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩)⟩₀,1 は −178 に等しい。
• 2点不変量 f(d) = d·⟨PD(𝔞₋₃(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩)⟩₀,d は、d = 1 で 27、d = 2 で 27、d = 3 で 54、d = 4 で 108 に等しい。
• d = 1 の3点不変量は完全に決定されており、f(d) と d₁ < d に関する和を含む一般式と整合的である。