[論文レビュー] Gromov--Witten Theory of CP^1 and Integrable Hierarchies

Todor Milanov|ArXiv.org|Apr 29, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、鏡像モデルにおける頂点演算子を用いて、$\mathbb{C}P^1$ の全祖先生成関数に対してHirota二次方程式（HQEs）を構成し、可積分系との関連を確立する。$\mathbb{C}P^1$ の全従属生成関数が拡張Toda階層のtau関数であることを示す新証明を提供する。この証明は、ねじれループ群形式および特異性理論からの周期積分を用いる。

ABSTRACT

The ancestor Gromov--Witten invariants of a compact {\Kahler} manifold $X$ can be organized in a generating function called the total ancestor potential of $X$. In this paper, we construct Hirota Quadratic Equations (HQE shortly) for the total ancestor potential of $\C P^1$. The idea is to adopt the formalism developed in \cite{G1,GM} to the mirror model of $\C P^1$. We hope that the ideas presented here can be generalized to other manifolds as well. As a corollary, using the twisted loop group formalism from \cite{G3}, we obtain a new proof of the following version of the Toda conjecture: the total descendant potential of $\C P^1$ (known also as the partition function of the $\C P^1$ topological sigma model) is a tau-function of the Extended Toda Hierarchy.

研究の動機と目的

• $\mathbb{C}P^1$ の全祖先生成関数に対するHirota二次方程式（HQEs）を、鏡像モデルにおける頂点演算子形式を用いて構成すること。
• $\mathbb{C}P^1$ のGromov-Witten理論と可積分階層、特に拡張Toda階層との関連を確立すること。
• [G1, GM] の手法を、$\mathbb{C}P^1$ に鏡像モデルと周期積分を用いて一般化すること。
• $\mathbb{C}P^1$ の全従属生成関数が拡張Toda階層のtau関数であることを示す新証明を、ねじれループ群形式と頂点演算子技術を用いて行うこと。

提案手法

• $\mathbb{C}P^1$ の鏡像モデルを用い、モース関数 $f_\tau(x) = x^2/2 + \tau$ に関連するレフシェッツチムブルの周期積分により頂点演算子を定義する。
• $S_\tau$ というシンプレクティック変換と演算子 $\epsilon \partial_x - \log \sqrt{Q}$ を用いて、頂点演算子 $\Gamma^\delta$ と $\Gamma^{\delta\#}$ を構成する。
• [G3] に従うねじれループ群形式を適用し、シンプレクティック変換 $S_\tau$ を介して祖先生成関数と従属生成関数を関連付ける。
• 従属生成関数から1形式 $\omega_{\mathcal{D}}$ を導出し、$q_{0,0}' - q_{0,0}'' = m\epsilon$ の特定の条件下での正則性を示す。
• $\widehat{S}_\tau$ のフォック空間への作用を用い、祖先構造と従属構造を関連付け、HQE条件と整合性を保証する。
• 特定の条件下での1形式 $\omega_{\mathcal{D}}$ の正則性が、全従属生成関数が拡張Toda階層のHQEsを満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 鏡像モデルにおける頂点演算子を用いて、$\mathbb{C}P^1$ の全祖先生成関数に対してHirota二次方程式（HQEs）を構成できるか？
• RQ2 $\mathbb{C}P^1$ の全従属生成関数は、拡張Toda階層のHQEsを満たすか？
• RQ3 [G3] のねじれループ群形式は、この文脈で祖先生成関数と従属生成関数をどのように関連付けるか？
• RQ4 レフシェッツチムブルの周期積分は、$\mathbb{C}P^1$ の頂点演算子定義において果たす役割は何か？
• RQ5 $\mathbb{C}P^1$ の全従属生成関数は、拡張Toda階層のtau関数か？

主な発見

• $\mathbb{C}P^1$ の全祖先生成関数は、鏡像モデルにおける頂点演算子によって定義されたHirota二次方程式（HQEs）の族を満たす。
• $\Gamma^\delta$ と $\Gamma^{\delta\#}$ という頂点演算子は、モース関数 $f_\tau(x) = x^2/2 + \tau$ に関連するレフシェッツチムブルの周期積分を用いて構成され、フォック空間構造の実現をもたらす。
• シンプレクティック変換 $S_\tau$ は、標準的なフォック空間構造を $\mathbb{C}P^1$ の設定に写像し、祖先生成関数から従属生成関数を構成することを可能にする。
• $q_{0,0}' - q_{0,0}'' = m\epsilon$（$m$ を整数）の条件下での1形式 $\omega_{\mathcal{D}}$ の正則性は、全従属生成関数が拡張Toda階層のHQEsを満たすことを確認する。
• $\mathbb{C}P^1$ の全従属生成関数が拡張Toda階層のtau関数であることが証明され、Toda予想に対する新証明が得られる。
• 本手法は、[G1] の手法を $\mathbb{C}P^1$ に一般化し、他のコンパクトケーラー多様体へも拡張可能なフレームワークを提供する。