[論文レビュー] Gromov-Witten theory of Deligne-Mumford stacks

Dan Abramovich, Tom Graber+1 more|ArXiv.org|Mar 7, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、デリーニ＝ムーマードスタック上のグロモフ＝ウィッテン理論の厳密な代数的幾何的基盤を確立し、コンツェビッチの安定写像のモジュライ空間をねじれ曲線およびオルビフォールドに拡張する。ねじれ安定写像のスタックを構成し、完全な障害理論の存在を証明し、仮想基本類を導出し、チャウ環とスタック論的技法を用いてオルビフォールドのグロモフ＝ウィッテン類および不変量の定義を可能にする。

ABSTRACT

Long ago, in math.AG/0112004, we pledged more details on the algebraic version of Chen-Ruan's math.AG/0103156. This is it.

研究の動機と目的

• デリーニ＝ムーマードスタック上のグロモフ＝ウィッテン理論に完全かつ厳密な代数的幾何的枠組みを提供し、先行するオルビフォールドに関する研究を拡張すること。
• 滑らかでない多様体へのコンツェビッチの安定写像のモジュライ空間を一般化して、デリーニ＝ムーマードスタックへのねじれ安定写像のモジュライ空間を形式化すること。
• ねじれ安定写像のスタックに完全な障害理論が存在することを確立し、仮想基本類を導くこと。
• 仮想基本類と評価写像による引き戻しを用いてグロモフ＝ウィッテン類を定義し、不変量の計算を可能にすること。
• オルビフォールド設定におけるモジュライスタックの境界構造を明確にし、特異点を持つ曲線がオルビフォールド点上のファイバー積を介して分解されることを示し、古典的ケースを一般化すること。

提案手法

• オルソンの代数的スタックおよびねじれ曲線の枠組みを用いて、スタック ${\mathcal{K}}_{g,n}({\mathcal{X}},\beta)$ としてねじれ安定写像のスタックを構成する。
• 巡回的インertリアスタックと剛性化を用いて、自己同型群と $\mu_r$ にバンドされたジェルベを記述し、オルビフォールド構造に不可欠である。
• 一般設定下でのアルチンの公理を適用して、モジュライ空間の代数的スタック構造を証明し、臨床的検証を回避する。
• 仮想基本類 $[\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{X},\beta)]^{\text{vir}}$ とコホロロジー類の引き戻しのカップ積を用いてグロモフ＝ウィッテン類を定義する。
• スタックの圏における余積の普遍性を用いて、モジュライスタックの境界をターゲットスタック上のファイバー積として記述する。
• オルソンのルートスタックおよびジェルベに関する結果を活用して、ねじれ曲線とそれらのターゲットスタック $\mathcal{X}$ への写像の構成と解析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロモフ＝ウィッテン理論は、滑らかな多様体からデリーニ＝ムーマードスタック、特にオルビフォールド設定にどのように拡張できるか。
• RQ2 デリーニ＝ムーマードスタックへのねじれ安定写像の正しいモジュライ的構成は何か。また、これはコンツェビッチのモジュライ空間をどのように一般化するか。
• RQ3 ねじれ安定写像のスタックは完全な障害理論を備えているか。その場合、得られる仮想基本類は何か。
• RQ4 オルビフォールドの場合におけるモジュライスタックの境界はどのように分解するか。これは古典的境界分解をどのように一般化するか。
• RQ5 スタック論的構成によるグロモフ＝ウィッテン不変量と、シンプレクティック的または商スタック的アプローチとの正確な関係は何か。

主な発見

• ${\mathcal{K}}_{g,n}({\mathcal{X}},\beta)$ は、$\mathcal{X}$ が滑らかで分離的である限り、$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 上の代数的デリーニ＝ムーマードスタックとして、固有かつ有限型である。
• $\mathcal{X}$ が滑らかであるとき、スタック ${\mathcal{K}}_{g,n}({\mathcal{X}},\beta)$ は完全な障害理論を備え、チャウ環内に明確に定義された仮想基本類を有する。
• グロモフ＝ウィッテン類は、$\langle \gamma_1, \dots, \gamma_n, * \rangle^{\mathcal{X}}_{g,\beta} = e_{n+1*}(e_1^*\gamma_1 \cup \cdots \cup e_n^*\gamma_n \cap [\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{X},\beta)]^{\text{vir}})$ として定義され、$A^*(\mathcal{X})$ に値をとる。
• モジュライスタックの境界は、ターゲットスタック上のファイバー積として分解される：$\Sigma \cong \coprod_{A\sqcup B, \beta_1+\beta_2=\beta} \overline{\mathcal{M}}_{0,A\sqcup\star}(\mathcal{X},\beta_1) \times_{\mathcal{X}} \overline{\mathcal{M}}_{0,B\sqcup\bullet}(\mathcal{X},\beta_2)$ であり、特異点を持つねじれ曲線の余積構造を反映している。
• $\mathcal{X}$ の有限群 $H$ による剛性化は、商 $\mathcal{X} / \mathcal{B}H$ に同値であり、商写像は $H$ にバンドされたジェルベであり、作用は自由かつ $H$-可換である。
• $\mathcal{X} \mathbin{\!\fatslash} H$ のジェルベと降下を用いた構成により、$\mathcal{X}$ の $\mathcal{B}H$ による作用の商スタックとしての剛性化のモジュライ的解釈が得られる。