[論文レビュー] Gromov-Witten theory of etale gerbes, I: root gerbes

Elena Andreini, Yunfeng Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、基底多様体 $X$ への genus 0 穩定写像のモジュライから、根gerbe $√[r]{\mathcal{L}/X}$ への genus 0 ねじれ安定写像のモジュライスタックを構成し、根gerbeの genus 0 Gromov-Witten 不変量が $X$ のそれらによって正確に表現される公式を確立する。これにより、エタールgerbeの文脈における Gromov-Witten 理論における明確な計算ツールが得られる。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complex projective algebraic variety. Given a line bundle $\mathcal{L}$ over $X$ and an integer $r>1$ one defines the stack $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ of $r$-th roots of $\mathcal{L}$. Motivated by Gromov-Witten theoretic questions, in this paper we analyze the structure of moduli stacks of genus $0$ twisted stable maps to $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$. Our main results are explicit constructions of moduli stacks of genus $0$ twisted stable maps to $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ starting from moduli stack of genus $0$ stable maps to $X$. As a consequence, we prove an exact formula expressing genus $0$ Gromov-Witten invariants of $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ in terms of those of $X$.

研究の動機と目的

• 根gerbe $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ への genus 0 ねじれ安定写像のモジュライスタックの構造を理解すること。
• 代数的スタックおよびgerbeの文脈で生じる Gromov-Witten 理論的問題に取り組むこと。
• 根gerbeの Gromov-Witten 不変量と基底多様体 $X$ のそれらの間の明確な関係を確立すること。
• 既知の $X$ のデータからねじれ安定写像モジュライスタックを明示的に構成すること。

提案手法

• 基底多様体 $X$ への genus 0 穏定写像のモジュライスタックを用いて、$\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ への genus 0 ねじれ安定写像のモジュライスタックを構成する。
• 根gerbeの文脈におけるねじれ安定写像の理論を適用し、そのスタック的構造を活用する。
• 自然な準同型 $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X} \to X$ を用いて写像を引き上げ、ねじれ構造を分析する。
• 等長的およびスタック的技法を用いて、モジュライ問題におけるオーロラフォードおよびgerbe構造を制御する。
• 局所化および障害理論を用いて、根gerbeの不変量と $X$ のそれらの間の普遍的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根gerbe $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ への genus 0 ねじれ安定写像は、基底多様体 $X$ への写像とどのように関係しているか？
• RQ2 $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ への genus 0 ねじれ安定写像のモジュライスタックは、$X$ のそれから明示的に構成可能か？
• RQ3 根gerbeの genus 0 Gromov-Witten 不変量と $X$ のそれらの間の正確な関係は何か？
• RQ4 gerbe構造は、genus 0 の場合に Gromov-Witten 不変量にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 根gerbe $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ への genus 0 ねじれ安定写像のモジュライスタックは、$X$ への genus 0 穏定写像のモジュライスタックから明示的に構成される。
• 根gerbeの genus 0 Gromov-Witten 不変量は、$X$ のそれらを用いた正確な公式によって表現される。
• 公式は、根の次数 $r$ に関連する乗法的係数を通じて、gerbe構造の寄与を反映している。
• この構成は、モジュライ空間の仮想基本クラスおよび障害理論と整合する。
• この結果により、基底多様体の不変量を用いて根gerbeの不変量を体系的に計算する方法が得られる。
• この方法は、すべての滑らかな複素射影多様体およびすべての整数 $r > 1$ に適用可能である。