[論文レビュー] Gromov-Witten theory of $\mathrm{K3} imes \mathbb{P}^1$ and quasi-Jacobi forms

Georg Oberdieck|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、K3 × P¹ の相対的 Gromov-Witten 理論を曲線類 (β,1) および (β,2) において解き、生成関数が準ヤコビ形式であることを証明し、K3 表面のヒルベルトスキームにおける genus-0 不変量と一致することを示している。主な革新点は、K3 表面上のハイパーガウス型曲線にまつわる genus 界の確立であり、形式的性質と低 genus の計算とを組み合わせることで、準ヤコビ形式構造により不変量が完全に特定されることを示している。

ABSTRACT

Let $S$ be a K3 surface with primitive curve class $β$. We solve the relative Gromov-Witten theory of $S imes \mathbb{P}^1$ in classes $(β,1)$ and $(β,2)$. The generating series are quasi-Jacobi forms and equal to a corresponding series of genus $0$ Gromov-Witten invariants on the Hilbert scheme of points of $S$. This proves a special case of a conjecture of Pandharipande and the author. The new geometric input of the paper is a genus bound for hyperelliptic curves on K3 surfaces proven by Ciliberto and Knutsen. By exploiting various formal properties we find that a key generating series is determined by the very first few coefficients. Let $E$ be an elliptic curve. As collorary of our computations we prove that Gromov-Witten invariants of $S imes E$ in classes $(β,1)$ and $(β,2)$ are coefficients of the reciprocal of the Igusa cusp form. We also calculate several linear Hodge integrals on the moduli space of stable maps to a K3 surface and the Gromov-Witten invariants of an abelian threefold in classes of type $(1,1,d)$.

研究の動機と目的

• K3 表面上の原始的曲線類 β に対して、曲線類 (β,1) および (β,2) における K3 × P¹ の相対的 Gromov-Witten 理論を計算すること。
• Pandharipande と Oberdieck が提起した予想の特殊な場合を検証すること。この予想は、K3 × P¹ の相対的 Gromov-Witten 理論と、K3 表面の点のヒルベルトスキームにおける genus-0 Gromov-Witten 理論との関係を示している。
• 不変量の生成関数が準ヤコビ形式であることを確立し、強い構造的制約と対称性を提供すること。
• S × E（E は楕円曲線）の曲線類 (β,1) および (β,2) における Gromov-Witten 不変量の明示的公式を導出し、それらが Igusa クラス形式の逆数の係数であることを示すこと。
• K3 表面への安定写像のモジュライ空間上の線形 Hodge 積分およびアーベル3重の曲線類 (1,1,d) における Gromov-Witten 不変量を計算すること。

提案手法

• Ciliberto と Knutsen が証明した、K3 表面上のハイパーガウス型曲線にまつわる genus 界を用い、曲線類 (β,d) における曲線の可能な genus を制限する。
• 準ヤコビ形式の形式的性質を適用し、曲線類 (β,2) における生成関数が最初の数個の係数によって完全に決定されることを示し、計算負荷を著しく軽減する。
• S × P¹ 上のインシデント条件を伴う相対的 Gromov-Witten 理論を用い、崩壊技術を用いて楕円曲線および P¹ × E 上の不変量と関連づけ、[32] で得られている既知の結果を活用する。
• 局所化および崩壊公式を用いて、P¹ × E 上の Hodge 積分および Gromov-Witten 不変量を計算し、問題を単一の楕円曲線上の不変量に還元する。
• 文献 [28, Appendix B] で与えられる準ヤコビ形式の代数の明示的表現を用い、生成関数の構造を同定する。
• Gromov-Witten 不変量と Igusa クラス形式との対応関係を用い、S × E の曲線類 (β,1) および (β,2) における不変量が Igusa クラス形式の逆数の係数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K3 × P¹ の曲線類 (β,1) および (β,2) における相対的 Gromov-Witten 不変量は、準ヤコビ形式によって完全に記述されるか？
• RQ2 Ciliberto と Knutsen が確立した K3 表面上のハイパーガウス型曲線にまつわる genus 界は、Gromov-Witten 不変量の制限および計算に利用可能か？
• RQ3 K3 × P¹ の相対的 Gromov-Witten 理論と、K3 表面の点のヒルベルトスキームにおける genus-0 Gromov-Witten 理論との間に正確な対応関係があるか？
• RQ4 S × E の曲線類 (β,1) および (β,2) における Gromov-Witten 不変量は、Igusa クラス形式の逆数の係数として現れるか？
• RQ5 崩壊および局所化を用いて、K3 表面への安定写像のモジュライ空間上の線形 Hodge 積分およびアーベル3重の曲線類 (1,1,d) における Gromov-Witten 不変量を計算できるか？

主な発見

• 曲線類 (β,1) および (β,2) における K3 × P¹ の相対的 Gromov-Witten 不変量の生成関数は、準ヤコビ形式であることが示され、Pandharipande と Oberdieck の予想の重要な予測が裏付けられた。
• 曲線類 (β,2) における不変量は、Ciliberto と Knutsen が確立した genus 界に加え、形式的性質および最初の数個の低 genus 係数を組み合わせることで完全に決定される。
• 曲線類 (β,1) および (β,2) における K3 × P¹ の生成関数は、K3 表面の点のヒルベルトスキームにおける genus-0 Gromov-Witten 不変量と一致する。
• S × E の曲線類 (β,1) および (β,2) における Gromov-Witten 不変量は、Igusa クラス形式の逆数の係数として現れ、明確な算術的構造を提供する。
• K3 表面への安定写像のモジュライ空間上の線形 Hodge 積分は、P¹ × E への崩壊を経て計算され、楕円曲線上の既知の不変量に還元される。
• アーベル3重の曲線類 (1,1,d) における Gromov-Witten 不変量は明示的に計算され、生成関数は Eisenstein 級数および Igusa クラス形式を用いて表現される。