[論文レビュー] Gromov-Witten theory of orbicurves, the space of tri-polynomials and Symplectic Field Theory of Seifert fibrations

Paolo Rossi|ArXiv.org|Aug 19, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ の形をした三変数多項式で定義されるフォーブルス多様体と、$\pi^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ のオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン理論との間で鏡映性を確立し、拡張されたシンプレクティック場の理論（SFT）を用いて genus-0 ポテンシャルを計算し、多項式量子コホノロジーが $
\mathbb{P}^1_{2,2,r}$, $
\mathbb{P}^1_{2,3,3}$, $
\mathbb{P}^1_{2,3,4}$, および $
\mathbb{P}^1_{2,3,5}$ の場合にのみ現れることを証明している。また、これらのオルビフォールド上にセイフェルト被覆を持つ接触3次元多様体に対して、明示的な SFT ハミルトニアンを構成している。

ABSTRACT

We compute, with Symplectic Field Theory techniques, the Gromov-Witten theory of the complex projective line with orbifold points. A natural subclass of these orbifolds, the ones with polynomial quantum cohomology, gives rise to a family of (polynomial) Frobenius manifolds and integrable systems of Hamiltonian PDEs, which extend the (dispersionless) bigraded Toda hierarchy. We then define a Frobenius structure on the spaces of polynomials in three complex variables of the form F(x,y,z)= -xyz+P_1(x)+P_2(y)+P_3(z) which contains as special cases the ones constructed on the space of Laurent polynomials. We prove a mirror theorem stating that these Frobenius structures are isomorphic to the ones found before for polynomial P1-orbifolds. Finally we link rational Symplectic Field Theory of Seifert fibrations over S^2 and three singular fibers with orbifold Gromov-Witten invariants of the base, extending a known result valid in the smooth case.

研究の動機と目的

• オルビフォールドコボルディズムに拡張されたシンプレクティック場の理論（SFT）を用いて、$\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ の genus-0 オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン・ポテンシャルを計算すること。
• 多項式量子コホノロジーを有するオルビカーブのクラスを同定し、それに対応する多項式フォーブルス多様体を構成すること。
• 固定された次数 $p,q,r$ を持つ三変数多項式 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ の空間に、$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$ を満たすフォーブルス構造を定義すること。
• これらの三変数多項式フォーブルス多様体と $\mathbb{P}^1_{p,q,r}$-オルビフォールドの量子コホノロジーとの間で、同型を確立するミラー定理を証明すること。
• 滑らかさのケースに既知の結果を一般化し、セイフェルト被覆上の有理型 SFT とその基底オルビフォールドのオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量との間の対応関係を拡張すること。

提案手法

• 2次元的ターゲットコボルディズムに $\mathbb{Z}_k$-特異点を含めるようにシンプレクティック場の理論（SFT）を拡張し、オルビフォールド写像のインデックス式と次数を修正する。
• ヒューリッツ数を用いて、$\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ の genus-0 グロモフ＝ウィッテン・ポテンシャルを、オルビフォールドコホノロジー変数のべき級数として計算する。
• 留数ペアリングとオイラーベクトル場を用いて、固定された次数 $p,q,r$ を持つ三変数多項式 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ の空間にフォーブルス多様体構造を定義する。
• 有理型 SFT ポテンシャルが、$x \in [0, 2\pi \alpha_1\cdots\alpha_a]$ 上でのフーリエ型積分を用いて、パラメータをずらしたオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン・ポテンシャルと関係づけられる明示的な積分公式を導出する。
• ドゥブロビンとジャンプの再構成定理を用いて、$M_{2,2,r}$ と $M(D_{r+2},r)$ の同型を証明する。これには、ユニットベクトル、オイラーベクトル、交差計量の一致を用いる。
• オルビフォールド・ポincareペアリングと次数シフト数 $\iota_n = \frac{l}{\alpha_i}$ を用いて、SFT フレームワーク内でのポアソン構造と次数を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのオルビカーブ $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ に対して、グロモフ＝ウィッテン・ポテンシャルが偶数のオルビフォールドコホノロジー変数の多項式に収縮するか？
• RQ2 固定された次数 $p,q,r$ を持つ三変数多項式 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ の空間にフォーブルス多様体を構成できるか。また、どのような条件下でそれが多項式的になるか？
• RQ3 三変数多項式 $M_{p,q,r}$ のフォーブルス多様体と、オルビフォールド量子コホノロジー $QH^*_{\text{orb}}(\mathbb{P}^1_{p,q,r})$ の間にミラー同型が存在するか？
• RQ4 セイフェルト被覆 $V$ の有理型 SFT ハミルトニアンを、基底のオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量の言葉でどのように表現できるか？
• RQ5 プレケイント化 bundle $V$ の SFT ポテンシャルと基底のグロモフ＝ウィッテン・ポテンシャルとの間の明確な関係は何か。これは滑らかさのケースを一般化する。

主な発見

• オルビフォールド $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ のグロモフ＝ウィッテン・ポテンシャルが多項式に収縮するのは、$\mathbb{P}^1_{2,2,r}$（$r \geq 4$）、$\mathbb{P}^1_{2,3,3}$、$\mathbb{P}^1_{2,3,4}$、$\mathbb{P}^1_{2,3,5}$ の場合に限る。このとき、多項式フォーブルス多様体が得られる。
• 条件 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$ を満たす三変数多項式 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ の空間に定義されたフォーブルス多様体 $M_{p,q,r}$ は、$QH^*_{\text{orb}}(\mathbb{P}^1_{p,q,r})$ に同型であり、ミラー定理が確立される。
• $M_{2,2,r}$ は、拡張されたアフィン・ワイル群 $\tilde{D}_l$ に関連するフォーブルス多様体 $M(D_{r+2},r)$ に同型であり、ユニットベクトル、オイラー・ベクトル、交差計量の一致により確認された。
• セイフェルト被覆 $V$ の有理型 SFT ポテンシャルは、$x \in [0, 2\pi \alpha_1\cdots\alpha_a]$ 上での積分により与えられ、これはパラメータをずらしたオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン・ポテンシャルと位相因子 $e^{-i c_1(V) x}$ を含む。
• SFT ハミルトニアン $\mathbf{h}^j_V$ は、$\iota_n = \frac{l}{\alpha_i}$（ねじれセクターに対応）を用いたフーリエ型積分を介して、グロモフ＝ウィッテンの後続不変量 $\mathbf{f}^j_P$ と関係づけられる。
• 本構成により、レンズ空間（A型）、プラズム多様体（D型）、パoincaré球面の特異的商（E型）などの接触3次元多様体に対する明示的な SFT ハミルトニアンが得られ、滑らかさのケースが拡張された。