[論文レビュー] Gross--Schoen Cycles and Dualising Sheaves

Shou-Wu Zhang|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、算術的交差理論と計量グラフ技法を用いて、曲線の三重積上のグロス–シューレ・サイクルの高さと相対的自己双対層の自己交点の間の明確な同一性を確立する。この結果は、算術的幾何学とホッジ理論の間の重要な接続を提供し、ボゴモロフおよびギレット–スールー予想への応用を含む。さらに、曲線のモジュライ空間上のタウトロジカル・サイクルに対するノースコット型性質を証明する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the modified diagonal cycle in the triple product of a curve over a global field defined by Gross and Schoen. Our main result is an identity between the height of this cycle and the self-intersection of the relative dualising sheaf. We have some applications to the following problems in number theory and algebraic geometry.

研究の動機と目的

• 曲線の全球体上での三重積上のグロス–シューレ・サイクルに対する明確な算術的高さ公式を確立すること。
• グロス–シューレ・サイクルの高さを相対的双対層の自己交点に関連づけ、新たな算術的幾何的不変量を提供すること。
• この同一性を応用して、高さに対する有効な下界を証明し、ギレット–スールーおよびボゴモロフ予想を支援すること。
• ノースコット型性質を用いて、モジュライ空間上のタウトロジカル・サイクル（Ceresaサイクルを含む）の非自明性を示すこと。
• 交差理論的技法を用いて、ヤコビアン内のクラス ${\mathcal{F}}(X_1)$ がレフシェーツ作用素に関して原始的であることを証明すること。

提案手法

• 正則かつ半安定モデル $X^3$ 上での算術的交差理論を用いて、グロス–シューレ・サイクルの高さを条件なしに定義する。
• 計量グラフ理論および還元複体理論を適用し、高さペアリングの局所的寄与を計算する。
• 立方体の定理を用いて $X^4$ 上の線束を分解し、フーリエ–マッキー変換 ${\mathcal{F}}(X)$ の引き戻しを計算する。
• 重要な引き戻し公式を導出：$f_3^*{\mathcal{F}}(X) = -g\sum_i p_i^*\xi - \sum_{ij} p_{ij*}\delta_\xi + \Delta_\xi$、ここで $\delta_\xi = p_1^*\xi + p_2^*\xi - \Delta$。
• 射影公式およびヤコビアン上のスターグローバル構造を用いて、$X^3$ 上のサイクル交差を $J$ 上の交差に還元し、$s=1$ 成分に帰着する。
• 関数体の場合にアラケロフ–スズピロの定理を適用し、非等質的で良い還元をもつ曲線に対して、三重積モチーフの $L$-系列が 2 階以上で消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロス–シューレ・サイクルの明確な算術的高さは、曲線の幾何的不変量を用いてどのように表されるか？
• RQ2 グロス–シューレ・サイクルの高さは、相対的双対層の自己交点とどのように関係するか？
• RQ3 高さ理論およびモジュライ空間の性質を用いて、Ceresa サイクルのようなタウトロジカル・サイクルの非自明性を確立できるか？
• RQ4 ヤコビアン内のクラス ${\mathcal{F}}(X_1)$ は、レフシェーツ作用素に関して原始的であるか？
• RQ5 三重積 $L$-系列は、ベイリンソン–ブロイ予想およびサイクルの非消滅性の文脈で果たす役割は何か？

主な発見

• グロス–シューレ・サイクル $\Delta_\xi$ の高さは $\langle \Delta_\xi, \Delta_\xi \rangle = \langle {\mathcal{F}}(X_1), f_{3*}\Delta_\xi \rangle$ を満たし、サイクルの高さとヤコビアン上での交差理論を結びつける。
• 相対的双対層の自己交点は、グロス–シューレ・サイクルの高さに等しく、算術的幾何学における基本的同一性を確立する。
• クラス ${\mathcal{F}}(X_1)$ は原始的である：$L \cdot L^{g-3}{\mathcal{F}}(X_1) \neq 0$ であり、$f_3^*\theta \cdot \Delta_\xi = 0$ を示すことによって証明される。
• 関数体上での非等質的で良い還元をもつ曲線に対して、三重積モチーフの $L$-系列は 2 階以上で消える。これは、グロス–シューレ・サイクルの非自明性を意味する。
• 非等質な曲線に対して、関数体上でのCeresaサイクル $X - [-1]_*X$ は非自明である。これは $X_s$ の奇数次元成分の和として表されるためである。
• 高さ $\langle \Delta_\xi \rangle$ は $\langle {\mathcal{F}}(X_1), X^{*3} \cdot {\mathcal{F}}(X_1) \rangle$ として表され、ペアリングはスターグローバル構造の $s=1$ 成分によって決定される。