[論文レビュー] Grothendieck duality on formal schemes

Leovigildo Alonso Tarrı́o, Ana Jeremı́as López+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、デリーニの手法の適応と、ブロウン表現可能性およびニーマンの枠組みを用いた別アプローチにより、ネーター形式的スキーム上の有界でない複体に対して、グローテンディーク双対性のグローバルな定式化を確立する。これにより、局所双対性、形式的双対性、留数定理が統一され、有界下、俋層的ホモロジー複体を持つ擬準正規および正規写像に対して、層化された双対性定理が得られる。

ABSTRACT

We give several related versions of global Grothendieck Duality for unbounded complexes on noetherian formal schemes. The proofs, based on a non-trivial adaptation of Deligne's method for the special case of ordinary schemes, are reasonably self-contained, modulo the Special Adjoint Functor Theorem. An alternative approach, inspired by Neeman and based on recent results about Brown Representability, is indicated as well. A section on applications and examples illustrates how these theorems synthesize a number of different duality-related results (local duality, formal duality, residue theorems, dualizing complexes...). A flat-base-change theorem for pseudo-proper maps leads in particular to sheafified versions of duality for bounded-below complexes with quasi-coherent homology. Thanks to Greenlees-May duality, the results take a specially nice form for proper maps and bounded-below complexes with coherent homology.

研究の動機と目的

• ネーター形式的スキーム上の有界でない複体へのグローテンディーク双対性の拡張。
• 分散した双対性結果（局所双対性、形式的双対性、留数定理）を、一つの枠組みに統合すること。
• 準層的ホモロジーを持つ有界下複体に対して、双対性定理の層化された形の提供。
• 形式的スキームの設定における、擬準正規写像に対する平坦基底変換定理の確立。
• グリーンリーズ＝メイ双対性が、正規写像および有界下複体に俛層的ホモロジーを持つ場合の双対性記述を簡略化することの示唆。

提案手法

• 通常のスキームにおけるデリーニの手法を形式的スキームの設定に適応し、特殊随伴ファンクター定理を用いる。
• 最近のブロウン表現可能性に関する結果を応用し、別アプローチによる証明フレームワークを提供する。
• 双対化複体の構成と、それらを用いた導来カテゴリにおける双対性同型の定義。
• 基底変換への双対性の拡張を可能とするため、擬準正規写像に対する平坦基底変換定理を確立する。
• グリーンリーズ＝メイ双対性を用いて、正規写像の場合の双対性記述を簡略化する。
• 俛層的ホモロジーを有する複体に対して、形式的スキーム上の俛層的層の導来カテゴリ内で作業することで、俛層的ホモロジーと整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローテンディーク双対性は、ネーター形式的スキーム上の有界でない複体へどのように拡張可能か？
• RQ2 既存の双対性定理（局所的、形式的、留数）は、形式的スキーム上での統一的枠組みにおいて、どのように統合されるか？
• RQ3 擬準正規写像は、形式的設定における双対性の基底変換定理を可能にする役割を果たすか？
• RQ4 グリーンリーズ＝メイ双対性は、正規写像および有界下複体に俛層的ホモロジーを持つ場合の双対性記述をどのように精緻化するか？
• RQ5 基底変換を用いて、有界下複体に俛層的ホモロジーを持つ場合の、層化された双対性定理を構成可能か？

主な発見

• 本論文は、デリーニの手法の自己完結的適応を用いて、ネーター形式的スキーム上の有界でない複体に対してグローバルグローテンディーク双対性を確立する。
• ブロウン表現可能性および最近の表現可能性理論の進展を応用した別証明フレームワークが提供され、双対性同型の別視点が得られる。
• 双対性定理は、局所双対性、形式的双対性、留数定理を一つの形式的枠組みに統合する。
• 擬準正規写像に対する平坦基底変換定理により、俛層的ホモロジーを持つ有界下複体に対して、層化された双対性同型の構成が可能になる。
• 正規写像および有界下複体に俛層的ホモロジーを持つ場合、グリーンリーズ＝メイ双対性により、双対性記述が特に明快かつ明示的な形に簡略化される。
• 結果は、形式的スキーム上の双対化複体が、代数幾何学における古典的双対性現象を回復および一般化できることを示している。