[論文レビュー] Grothendieck groups in extriangulated categories

Bin Zhu, Xiao Zhuang|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所的有限な外部三角圏において、Grothendieck 群 $K_0(\mathscr{C})$ の関係が、Auslander-Reiten $\mathbb{E}$-三角形によって生成されることを確立している。これは、加群圏や三角圏における既知の結果を一般化するものである。さらに、$K_0(\mathscr{C})$ の、生成子 $\mathcal{G}$ の像を含む部分群と、稠密な $\mathcal{G}$-(co)resolving 部分圏との間の一対一対応を証明しており、三角圏および完全圏における分類結果を、より広い外部三角圏の設定にまで拡張している。

ABSTRACT

The aim of the paper is to discuss the relation subgroups of the Grothendieck groups of extriangulated categories and certain other subgroups. It is shown that a locally finite extriangulated category $\C$ has Auslander-Reiten $\E-$triangles and the relations of the Grothendieck group $K_{0}(\C)$ are generated by the Auslander-Rieten $\E-$triangles. A partial converse result is given when restricting to the triangulated categories with a cluster tilting subcategory: in the triangulated category $\C$ with a cluster tilting subcategory, the relations of the Grothendieck group $K_0(\C)$ are generated by Auslander-Reiten triangles if and only if the triangulated category $\C$ is locally finite. It is also shown that there is a one-to-one correspondence between subgroups of $K_{0}(\C)$ containing the image of $\mathcal G$ and dense $\mathcal G-$(co)resolving subcategories of $\C$ where $\mathcal G$ is a generator of $\C,$ which generalizes results about classifying subcategories of a triangulated \cite{t} or an exact category $\C$ \cite{m} by subgroups of $K_{0}(\C)$.

研究の動機と目的

• 外部三角圏におけるGrothendieck群の構造を調査すること、特にAuslander-Reiten $\mathbb{E}$-三角形による関係の生成に焦点を当てる。
• 三角圏および完全圏における部分圏の分類結果を、より広い外部三角圏の設定にまで一般化すること、すなわち $K_0(\mathscr{C})$ の部分群による部分圏の分類を拡張すること。
• 生成子 $\mathcal{G}$ の像を含む $K_0(\mathscr{C})$ の部分群と、稠密な $\mathcal{G}$-(co)resolving 部分圏との間の一対一対応を確立すること。

提案手法

• すべての $\mathbb{E}$-三角形 $A \to B \to C \to \Sigma A$ に対して、$[A] + [C] - [B]$ で生成される部分群による、対象の同型類の自由アーベル群の商として、Grothendieck 群 $K_0(\mathscr{C})$ を定義する。
• 局所的有限な外部三角圏の概念を用いて、Auslander-Reiten $\mathbb{E}$-三角形の存在を証明する。
• 写像 $f(\mathscr{X}) = \langle[X] \mid X \in \mathscr{X}\rangle$ および $g(H) = \{A \in \mathscr{C} \mid [A] \in H\}$ を通じて、$K_0(\mathscr{C})$ の、生成子 $\mathcal{G}$ の像を含む部分群と、稠密な $\mathcal{G}$-(co)resolving 部分圏との間の対応を確立する。
• 三角圏にクラスタティルティング部分圏を持つ場合、$K_0(\mathscr{C})$ の関係がAuslander-Reiten三角形によって生成されることと、圏が局所的有限であることとは同値であることを証明する。
• Krull-Schmidt性および関手的有限性を用いて、resolving および coresolving 部分圏の構造を分析する。
• 完全圏および三角圏における結果を特別な場合として適用し、フレームワークの整合性と一般性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的有限な外部三角圏 $\mathscr{C}$ において、Grothendieck 群 $K_0(\mathscr{C})$ の関係は、Auslander-Reiten $\mathbb{E}$-三角形によって生成されるか？
• RQ2 外部三角圏において、生成子 $\mathcal{G}$ の像を含む $K_0(\mathscr{C})$ の部分群と、稠密な $\mathcal{G}$-(co)resolving 部分圏との間には、一対一対応が存在するか？
• RQ3 クラスタティルティング部分圏をもつ三角圏において、$K_0(\mathscr{C})$ の関係がAuslander-Reiten三角形によって生成されることと、圏が局所的有限であることとは同値か？
• RQ4 三角圏および完全圏における部分圏の分類結果は、より一般な外部三角圏の設定にどのように拡張されるか？
• RQ5 部分圏が、$K_0(\mathscr{C})$ におけるその像に関して、稠密かつ $\mathcal{G}$-(co)resolving であるための条件は何か？

主な発見

• 局所的有限な外部三角圏 $\mathscr{C}$ において、Grothendieck 群 $K_0(\mathscr{C})$ の関係は、Auslander-Reiten系列に対応する $\mathbb{E}$-三角形によって生成される。
• クラスタティルティング部分圏をもつ三角圏に対しては、部分的な逆が成り立つ：$K_0(\mathscr{C})$ の関係がAuslander-Reiten三角形によって生成されることと、$\mathscr{C}$ が局所的有限であることとは同値である。
• 生成子 $\mathcal{G}$ の像を含む $K_0(\mathscr{C})$ の部分群と、$\mathscr{C}$ の稠密な $\mathcal{G}$-(co)resolving 部分圏との間には、一対一対応が存在する。
• この対応は、既知の三角圏 [T] および完全圏 [M] における結果を一般化し、外部三角圏の設定にまで拡張している。
• 任意の $\mathscr{C}$ の対象 $A$ に対して、$G \in \mathcal{G}$ を満たす $\mathbb{E}$-三角形 $A_1 \to G \to A \to \Sigma A_1$ の存在は、任意の $\mathcal{G}$ を含む部分群 $H$ に対して、$g(H)$ が $\mathscr{C}$ において稠密であることを保証する。
• $f$ と $g$ は部分圏と部分群の間で互いに逆写像であり、$\mathcal{G}$-(co)resolving 部分圏の構造を保つ完全な対応を確立している。