[論文レビュー] Grothendieck--Lefschetz type theorems for the local Picard group

Janós Kollár|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特異点の局所Picard群に対してGrothendieck–Lefschetz定理を拡張し、次のような弱い条件下—例えば次元≥4、局所$S_2$または優れた$\mathbb{F}_p$-代数構造—で、局所Picard群上の制限写像が単射であるか、核が制御可能であることを証明する。主な結果として、次元≥3の孤立特異点では、$K^2$のジャンプや非正則な滑らか化といった、表面論における変形現象が生じないことが示され、コhomologicalおよび位相的手法を用いて、古典的結果を高次元に一般化する。

ABSTRACT

We propose a strengthening of the Grothendieck--Lefschetz hyperplane theorem for the local Picard group, prove some special cases and derive several consequences to the deformation theory of log canonical singularities. Version 2: Main conjecture changed, following recent results of Bhatt and de Jong. Small changes to the proofs.

研究の動機と目的

• 特異点の局所設定において、KleimanのグローバルLefschetz定理を一般化すること。
• 正則または$S_2$スキームにカーティエ除集合を伴うとき、局所Picard群上の制限写像の核を調査すること。
• $K^2$のジャンプや非正則な滑らか化といった、表面理論におけるある種の変形現象が、次元≥3の孤立特異点では生じないことを示すこと。
• 局所Picard群制限写像が単射であるための位相的およびcohomologicalな条件を確立すること。
• 対数 canonical 特異点をもつ高次元代数的多様体のモジュライ理論の基盤を提供すること。

提案手法

• 古典的定理におけるグローバルPicard群の代わりに、中心的対象として局所Picard群$\operatorname{Pic}^{\rm loc}(x\in X)$を用いる。
• Poincaré双対性と切除法を適用し、特異点集合の補集合のcohomologyとリンク$\partial W \setminus \partial W_0$のcohomologyを関連付ける。
• 相対cohomologyの長完全系列$H^i(\partial W, \partial W_0, \mathbb{Z}) \to H^i(\partial W, \mathbb{Z}) \to H^i(\partial W_0, \mathbb{Z}) \to \cdots$を用いて、制限写像の核を分析する。
• 内部$W \setminus W_0$がSteinかつ$n$次元であることから、$2n-1-i \geq n+1$のとき$H_{2n-1-i}(W\setminus W_0, \mathbb{Z}) = 0$となり、高次のコhomologyが消えることを示す。
• 自然な写像$\operatorname{Pic}^{\rm an}(W\setminus\{p\}) \to H^2(W\setminus\{p\}, \mathbb{Z})$の単射性と可換図式の議論を用いて、Picard制限写像の単射性を導出する。
• 楕円曲面のファイバー積を用いた具体例の構成により、$H^1(Z, \mathbb{Q}) \neq 0$が$H^2$-制限写像の非単射性を引き起こす可能性があることを示し、Lefschetz定理の自明な一般化の反例を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則または$S_2$スキーム$X$にカーティエ除集合$X_0$を伴うとき、$\operatorname{Pic}^{\rm loc}(x\in X) \to \operatorname{Pic}^{\rm loc}(x\in X_0)$の制限写像が単射である条件は何か？
• RQ2 $X$が優れた局所$\mathbb{F}_p$-代数であるとき、局所Picard制限写像の核を制御できるか？
• RQ3 古典的表面変形現象—例えば$K^2$のジャンプや非正則な滑らか化—は、高次元の孤立特異点でも継続するか？
• RQ4 $\dim X \geq 4$かつ$X_0$が$S_2$のとき、解析的Picard群上の制限写像は単射か？
• RQ5 cohomological切除法を用いて、位相的バージョンのGrothendieck–Lefschetz定理を局所Picard群に拡張できるか？

主な発見

• 正則または$S_2$スキーム$X$で$\dim_x X \geq 4$のとき、$X_0$が$S_2$であれば、制限写像$\operatorname{Pic}^{\rm loc}(x\in X) \to \operatorname{Pic}^{\rm loc}(x\in X_0)$は単射であり、Kleimanのグローバル結果を一般化する。
• もし$X$が優れた局所$\mathbb{F}_p$-代数であれば、局所Picard制限写像の核は$p$- torsion である。これは、核が$p$- torsion であるという予想的条件を支持する。
• 核は$\operatorname{Pic}^{\rm loc}(x\in X)$の連結成分に含まれるため、単射性の失敗に対する位相的制御が示唆される。
• $\dim X \geq 4$かつ$X_0$が$S_2$のとき、解析的Picard群制限写像$\operatorname{Pic}^{\rm an}(W\setminus\{p\}) \to \operatorname{Pic}^{\rm an}(W_0\setminus\{p\})$は単射である。
• 与えられた仮定のもとで、cohomologicalな議論により$H^i(W\setminus\{p\}, \mathbb{Z}) \cong H^i(W_0\setminus\{p\}, \mathbb{Z})$（$i \leq n-3$）および$i = n-2$で単射が成り立つことが示される。
• 楕円曲面のファイバー積を用いた具体例により、$H^1(Z, \mathbb{Q}) \neq 0$が非単射$H^2$-制限を引き起こす可能性があることが示され、Lefschetz定理の自明な一般化が誤りであることが判明する。