[論文レビュー] Grothendieck-Lidskii trace formula for mixed-norm and variable Lebesgue spaces

Julio Delgado, Michael Ruzhansky+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、重み付き混合ノルムルベーグ空間、可変指数ルベーグ空間、およびそれらに付随するモジュレーション空間とワイエル・アマルガム空間において、度合い近似性質を確立し、核作用素を特徴づける。また、このような作用素に対してグロテンディーク＝リドスキーのトレース公式を導出し、グローバル記号を用いて周期的擬微分作用素および調和振動子の関数に応用する。固有値と記号積分を用いた明示的なトレース公式が得られる。

ABSTRACT

In this note we present the metric approximation property for weighted mixed-norm $L_w^{(p_1,\dots ,p_n)}$ and variable exponent Lebesgue type spaces. As a consequence, this also implies the same property for modulation and Wiener-Amalgam spaces. We then characterise nuclear operators on such spaces and state the corresponding Grothendieck-Lidskii trace formulae. We apply the obtained results to derive criteria for nuclearity and trace formulae for periodic operators on $\mathbb R^n$ and functions of the harmonic oscillator in terms of the global symbol.

研究の動機と目的

• 重み付き混合ノルムルベーグ空間 $L_w^{(p_1,\dots,p_n)}$ および可変指数ルベーグ空間 $L^{p(\cdot)}$ における度合い近似性質の確立。
• これらの空間上での $r$-核作用素の特徴づけと、それに対応するグロテンディーク＝リドスキーのトレース公式の導出。
• 結果をトーラス $\mathbb{T}^n$ 上の周期的擬微分作用素およびグローバル記号を用いた調和振動子の関数に応用。
• 核作用素の核性およびトレース公式の十分条件を、記号の減衰性と記号および乗数関数の積分可能性条件の観点から提示。

提案手法

• 基礎となる測度空間の構造と双対性の議論を用いて、混合ノルムルベーグ空間における度合い近似性質の証明。
• 双対性と因子分解技術を用い、双対空間および終域空間の系列において、ノルムの $r$ 乗の和が収束する条件によって $r$-核作用素を特徴づける。
• 核作用素の理論を応用し、トレース公式を固有値の和および記号カーネルの積分として導出。
• トーラス上での記号が $\ell^r(\mathbb{Z}^n)$ に属する作用素を解析するため、トロイダル量子化とフーリエ級数展開を用いる。
• 記号列の $\ell^r$-和が収束することを仮定し、$L^{p(\cdot)}(\mathbb{T}^n)$ 上の $\alpha(x)(I - \Delta)^{-\tau/2}$ 形式の作用素に対してトレース公式を確立。
• 特に $r \leq 2/3$ の場合に、グロテンディーク理論を用いてトレース公式とスペクトル性質の等価性を活用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き混合ノルムルベーグ空間および可変指数ルベーグ空間に対して、度合い近似性質は成立するか？
• RQ2 混合ノルムおよび可変指数ルベーグ空間上での $r$-核作用素の特徴づけは何か？
• RQ3 グロテンディーク＝リドスキーのトレース公式は、これらの関数空間上の作用素へ拡張可能か？
• RQ4 トーラス $\mathbb{T}^n$ 上の周期的擬微分作用素に対して、核性およびトレース公式を保証する条件は何か？
• RQ5 可変指数空間におけるグローバル記号を用いて、調和振動子の関数のトレースをどのように表現できるか？

主な発見

• 重み付き混合ノルムルベーグ空間 $L_w^{(p_1,\dots,p_n)}$ および可変指数ルベーグ空間 $L^{p(\cdot)}$ において、度合い近似性質が成立する。
• 線形作用素 $T$ が $L^{p(\cdot)}(\mu)$ から $L^{q(\cdot)}(\nu)$ への $r$-核作用素であるための必要十分条件は、$g_n \in L^{q(\cdot)}(\nu)$、$h_n \in L^{p'(\cdot)}(\mu)$ であるような系列が存在し、$\sum_n \|g_n\|_{L^{q(\cdot)}}^r \|h_n\|_{L^{p'(\cdot)}}^r < \infty$ を満たすことである。
• $r \leq 2/3$ かつ $p^+ < \infty$ のとき、$L^{p(\cdot)}(\mu)$ 上の $r$-核作用素のトレースは、重複度を考慮した固有値の和に等しい。
• $\alpha \in L^{p'(\cdot)}(\mathbb{T}^n)$ かつ $\sigma(\xi) \in \ell^r(\mathbb{Z}^n)$ のとき、作用素 $\alpha T_\sigma$ は $L^{p(\cdot)}(\mathbb{T}^n)$ 上で $r$-核作用素であり、トレースは $\int_{\mathbb{T}^n} \alpha(x)\,dx \cdot \sum_{\xi \in \mathbb{Z}^n} \sigma(\xi)$ に等しい。
• $\mathbb{T}^n$ 上の $\alpha(I - \Delta)^{-\tau/2}$ に対して、核性が成立するのは $r\tau > n$ のときであり、トレースは $\int_{\mathbb{T}^n} \alpha(x)\,dx \cdot \sum_{\xi \in \mathbb{Z}^n} (1 + 4\pi^2|\xi|^2)^{-\tau/2}$ に等しい。
• $r \leq 2/3$ かつ $p^+ < \infty$ のとき、トレースは固有値の和に等しい：$\operatorname{Tr}(T) = \sum_{j=1}^\infty \lambda_j$。