[論文レビュー] Grothendieck ring of pretriangulated categories

Alexey Bondal, Michael Larsen+1 more|ArXiv.org|Jan 2, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、滑らかで射影的な代数的多様体の係数の連接層の導来圏をモデル化する関手的テンソル積を用いて、前三角的DGカテゴリのGrothendieck環を導入する。主な貢献は、多様体のGrothendieck環からこの環へのモチビック測度の構成であり、アフィン直線の類が1にマップすることを示し、積のカテゴリの積の導来圏におけるカーネル対象による標準的関手の表現性を証明する。

ABSTRACT

We consider the abelian group $PT$ generated by quasi-equivalence classes of pretriangulated DG categories with relations coming from semi-orthogonal decompositions of corresponding triangulated categories. We introduce an operation of "multiplication" $\bullet$ on the collection of DG categories which makes this abelian group into a commutative ring. A few applications are considered: representability of "standard" functors between derived categories of coherent sheaves on smooth projective varieties and a construction of an interesting motivic measure.

研究の動機と目的

• 三角的カテゴリのGrothendieck環に、ファイバー積下での多様体の導来圏をモデル化する自然な積演算を備えること。
• 三角的カテゴリにおけるコーンの非関手的性を克服するため、前三角的DGカテゴリを用いること。
• 多様体のGrothendieck環から前三角的カテゴリのGrothendieck環へのモチビック測度を定義すること。
• 滑らかで射影的な多様体の導来圏間の標準的完全関手が、積の導来圏におけるカーネル対象によって表現可能であることを証明すること。

提案手法

• 半直交分解からの関係を含む、前三角的DGカテゴリの quasi-equivalence 確率類が生成するアーベル群 $\mathcal{P}\mathcal{T}$ を定義する。
• DGカテゴリのDG強化における導来テンソル積を用いて、DGカテゴリ上に乗法 $\bullet$ を導入する。
• 滑らかで射影的な多様体 $X$ に対して、$I(X)$ を有界下方のインジェクティブ複体のDGカテゴリとするとき、$I(X) \bullet I(Y) \cong I(X \times Y)$ が成り立つことを示す。
• この積を用いて、$[X] \mapsto [I(X)]$ を与える環準同型 $\mu: K_0[\mathcal{V}_k] \to \Gamma_k$ を構成し、$[\mathbb{L}] - 1$ による商を通して因数分解されることを示す。
• 任意の完全関手 $F: D(X) \to D(Y)$ が、標準的強化間のDG関手から生じる場合、$F(-) \cong \mathbb{R}q_*(p^*(-) \otimes^\mathbb{L} P)$ を満たす $P \in D(X \times Y)$ が存在することを証明する。
• 導来圏の吹き上げ公式を用いて、$[I(X)]$ と $[I(Y)]$、$[I(Z)]$ の関係を、吹き上げの導来圏の半直交分解を用いてGrothendieck群に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角的カテゴリのGrothendieck環に、ファイバー積下での多様体の導来圏をモデル化する自然な積構造を備えることは可能か？
• RQ2 写像 $X \mapsto D(X)$ は、多様体のGrothendieck環から前三角的カテゴリのGrothendieck環への環準同型に拡張可能か？
• RQ3 滑らかで射影的な多様体の導来圏間のすべての完全関手は、積の導来圏におけるカーネル対象によって表現可能か？
• RQ4 モチビック測度 $\mu: K_0[\mathcal{V}_\mathbb{C}] \to \Gamma_\mathbb{C}$ の核は何か？ また、$[\mathbb{L}] - 1$ を含むか？
• RQ5 導来圏の吹き上げの半直交分解は、前三角的カテゴリのGrothendieck群における関係にどのように翻訳されるか？

主な発見

• 前三角的DGカテゴリの quasi-equivalence 確率類のGrothendieck環 $\Gamma_k$ は、導来テンソル積によって誘導される演算 $\bullet$ に関して可換環である。
• $\Gamma_\mathbb{C}$ における射影空間 $\mathbb{P}^{d-1}$ の類は、対角のBeilinson分解により $d$ に等しい。
• モチビック測度 $\mu: K_0[\mathcal{V}_\mathbb{C}] \to \Gamma_\mathbb{C}$ は $\mu([\mathbb{A}^1]) = 1$ を満たすため、$\mu([\mathbb{L}]) = 1$ であり、$[\mathbb{L}] - 1$ が核に含まれる。
• $Y$ に沿った $Z$ への吹き上げ $X$ に対して、$\Gamma_k$ 内で $[I(X)] + [I(Z)] = [I(Y)] + [I(E)]$ が成り立つ。ここで $E$ は例外的除集合である。
• 標準的強化間のDG関手から生じる任意の完全関手 $F: D(X) \to D(Y)$ は、$F(-) \cong \mathbb{R}q_*(p^*(-) \otimes^\mathbb{L} P)$ を満たす $P \in D(X \times Y)$ によってカーネル対象として表現可能である。
• 誘導された写像 $\bar{\mu}: K_0[\mathcal{V}_\mathbb{C}]/\langle \mathbb{L} - 1 \rangle \to \Gamma_\mathbb{C}$ は全射であり、おそらくは単射ではないが、非常に近い。