[論文レビュー] Grothendieck rings of Artin n-stacks

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、アーベル・nスタックのグローテンディーク環を導入し、古典的グローテンディーク環の一般化を行う。アフィン直線およびその穴あき冪の類を逆元化した後、特別なアーベル・nスタックのグローテンディーク環が、局所化された多様体のグローテンディーク環と同型であることを証明する。これにより、モチビックおよびl進オイラー特性といった加法的不変量の一意的拡張が可能となり、l進コホロロジー上のフロベニウス作用素のトレースを用いた有理点のトレース公式が確立される。

ABSTRACT

We introduce a Grothendieck ring of higher Artin stacks generalizing the Grothendieck ring of algebraic varieties. We show that this ring is not trivial by noticing that it factors the invariant "number of rational points over a finite field". We also introduce the notion of "special Artin stacks", which by definition have affine homotopy groups π_{i}, and furthermore unipotent for i>1. Our principal theorem states that the natural inclusion morphism from the Grothendieck ring of varieties to the Grothendieck ring of special Artin stacks is an isomorphism after inverting the class of the affine line L and the classes of L^{i}-1 for all i>0. We deduce from this that several numerical invariants defined for varieties (e.g. Hodge numbers, l-adic Euler characteristic ...) extend uniquely to invariants defined for special Artin stacks. In particular we obtain a trace formula for special Artin stacks of finite type over a finite field, identifying the number of rational points as the trace of the Frobenius acting on the l-adic Euler characteristic.

研究の動機と目的

• アーベル・nスタックのグローテンディーク環を定義し、古典的多様体の環を一般化する。
• 有理点の数え上げ準同型を構成することで、この環が非自明であることを示す。
• 高次ホモトピー群がアフィン的かつ単根的であることで特徴づけられる「特別なアーベル・nスタック」を定義する。
• アフィン直線 A^1 および A^i\{0} の類を逆元化した後、特別なアーベル・nスタックのグローテンディーク環が、多様体の局所化されたグローテンディーク環と同型であることを証明する。
• モチビックおよびl進オイラー特性などの加法的不変量が、特別なアーベル・nスタックへ一意的に拡張できることを確立する。

提案手法

• スシッター関係およびザリスキ局所的に自明なファイブレーションに関する追加関係を用いて、基底スキーム上有限型のアーベル・nスタックのグローテンディーク環を定義する。
• 高次ホモトピー群を考慮した有理点の数え上げ準同型 μ: K(CH^{ft}(k)) → ℚ を構成する。
• 高次ホモトピー群 π_i (i>1) がアフィン的かつ単根的であるような「特別なアーベル・nスタック」のクラスを導入する。
• デヴィッサージュの議論を用いて、特別なアーベル・nスタックを基本的要素（スキーム、K(𝐺𝑎,𝑛)スタック、および [X/GL_r] のグローバル商）に分解する。
• 主な同型を示すために、多様体のグローテンディーク環を [A^1] および i>0 に対する [A^i\{0}] で局所化したものが、特別なアーベル・nスタックのグローテンディーク環に同型に写ることを証明する。
• Tannakian圏を用いてl進オイラー特性不変量を構成し、同型を用いてそれを特別なアーベル・nスタックへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル・nスタックのグローテンディーク環の構造は何か？ そして、これは古典的多様体の環をどのように一般化するか？
• RQ2 モチビックおよびl進オイラー特性のような加法的不変量は、どのように多様体からアーベル・nスタックへ拡張できるか？
• RQ3 高次ホモトピー群にどのような条件を課すと、nスタックのグローテンディーク環が多様体の局所化された環と同型になるか？
• RQ4 アーベル・nスタック上の有理点の数え上げは、l進コホロロジー上のフロベニウス作用素のトレースとどのように関係するか？
• RQ5 l進コホロロジーを用いて、特別なアーベル・nスタックの文脈で有理点のトレース公式を確立できるか？

主な発見

• アーベル・nスタックの有限型グローテンディーク環は、高次ホモトピー群を考慮した有理点の数え上げを反映するwell-definedな準同型 μ: K(CH^{ft}(k)) → ℚ により、非自明であることが示された。
• 多様体の局所化されたグローテンディーク環（[A^1] および i>0 に対する [A^i\{0}] で局所化）から、特別なアーベル・nスタックのグローテンディーク環への準同型が誘導され、これが同型である。
• 任意の加法的不変量 φ: K(𝒱(k)) → A で、φ([A^1]) およびすべての i>0 に対して φ([A^i\{0}]) が可逆であるようなものについて、それが特別なアーベル・nスタックのグローテンディーク環上に一意に拡張可能である。
• 任意の特別なアーベル・nスタック F に対して、l進オイラー特性 χ_l(F) ∈ K(W(k))[[Q_l(i)−1]_i>0] がwell-definedに定義される。
• χ_l(F) 上のフロベニウス作用素のトレースが、有理点の数 μ(F) に一致し、特別なアーベル・nスタックに対してモチビックトレース公式が確立される。
• このトレース公式は、多様体の場合に古典的グローテンディーク＝リーマンのトレース公式に還元され、特殊な場合の整合性が確認される。