[論文レビュー] Grothendieck topologies on a poset

Bert Lindenhovius|arXiv (Cornell University)|May 17, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、部分順序集合（poset）上のグロテンディーク位相を分類し、すべての such 位相が部分集合から生じるための必要十分条件として、poset がアルティン的であること（任意の空でない下向きに有向な部分集合が最小元をもつこと）であることを示している。主な貢献は、アルティン的 poset が、部分集合によって生成されるグロテンディーク位相のクラスを完全に尽くすことを確立したことであり、層理論および C*-代数的構造を通じた量子論理への応用を含む。

ABSTRACT

We investigate Grothendieck topologies (in the sense of sheaf theory) on a poset $¶$ that are generated by some subset of $¶$. We show that such Grothendieck topologies exhaust all possibilities if and only if $¶$ is Artinian. If $¶$ is not Artinian, other families of Grothendieck topologies on $¶$ exist that are not generated by some subset of $¶$, but even those are related to the Grothendieck topologies generated by subsets. Furthermore, we investigate several notions of equivalences of Grothendieck topologies, and using a posetal version of the Comparison Lemma, a sheaf-theoretic result known as the Comparison Lemma, going back to Grothendieck et al \cite{SGA4}, we calculate the sheaves with respect to most of the Grothendieck topologies we have found.

研究の動機と目的

• poset 上のグロテンディーク位相、特に部分集合によって生成されるものについて分類すること。
• poset 上のすべてのグロテンディーク位相が部分集合から生じるための条件を同定すること。
• poset 上のグロテンディーク位相とフレーム理論における核（nuclei）、同値関係（congruences）、部分局所（sublocales）との関係を明らかにすること。
• posetal バージョンの比較補題を用いて、これらの位相上の層を計算すること。
• 結果を量子論理に応用し、特に C*-代数およびその可換部分代数の文脈において検討すること。

提案手法

• 部分集合 X ⊆ P を用いて poset P 上のグロテンディーク位相 J を定義する。条件は J(p) = {S ∈ D(↓p) : X ∩ ↓p ⊆ S} である。
• アルティン的帰納法を用いて、アルティン的 poset 上のすべてのグロテンディーク位相が部分集合によって生成されることを証明する。
• P の部分集合の集合（逆包含順序で順序づけられる）と、D(P)（P の下付き集合のフレーム）上の核の集合との間に順序同型を確立する。
• グロテンディークの比較補題の posetal バージョンを適用し、さまざまなグロテンディーク位相に対してサイト (P, J) 上の層を計算する。
• P 上のグロテンディーク位相と D(P) 上の核との間の同型を証明する。これにより、D(P) の同値関係および部分局所に対応する。
• 下付き集合の構造と順序論的双対性を用いて、核 j_X(A) = X → A と部分集合 X ⊆ P の関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 poset P 上のすべてのグロテンディーク位相が部分集合 X ⊆ P から生じるための条件は何か？
• RQ2 poset 上のグロテンディーク位相と、その下付き集合のフレームにおける核、同値関係、部分局所との関係は何か？
• RQ3 posetal サイト上の層はどのように振る舞い、比較補題の posetal バージョンを用いて計算可能か？
• RQ4 すべてのグロテンディーク位相が完全であるような poset はどのような特徴を持つか？
• RQ5 C*-代数の可換 C*-部分代数の poset がアルティン的であるのはどのような場合か？ そしてこれは代数の再構成に何を意味するか？

主な発見

• poset P がアルティン的であるための必要十分条件は、P が部分集合によって生成されるグロテンディーク位相のみを含むことである。
• アルティン的 poset に対して、写像 X ↦ j_X は P(P)^op から D(P) 上の核の集合への順序同型である。
• P 上のすべての部分集合によって生成されるグロテンディーク位相に対する層は、比較補題により、X 上の下付き集合のフレーム D(X) に同型である。
• P 上のすべてのグロテンディーク位相が完全であるための必要十分条件は、P がアルティン的であることである。
• 核 j_X(A) = X → A は、X によって生成されるグロテンディーク位相に正確に対応し、P がアルティン的であるとき、この対応は順序同型である。
• D(P) のすべての部分局所が、ある部分集合 X ⊆ P に対して D(X) に同型であるための必要十分条件は、P がアルティン的であることである。