[論文レビュー] Ground state degeneracy in quantum spin systems protected by crystal symmetries

Yang Qi, Chen Fang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Advanced NMR Techniques and Applications被引用数 8

ひとこと要約

本論文は、点群 $\mathbb{D}_{2,4,6}$ の対称性中心に配置された半整数スピンを有する2次元量子スピン系が、結晶対称性のみによって保護される基底状態デゲネラシーを示す新しい定理を確立している。Lieb-Schultz-Mattis定理とは異なり、単位格子あたりの半整数スピン数が偶数である系に対しても適用可能であり、スピン回転対称性や時間反転対称性を必要としない。これは、量子スピン液体や対称性破れ相を同定するための新たな基準を提供する。

ABSTRACT

We develop a no-go theorem for two-dimensional bosonic systems with crystal symmetries: if there is a half-integer spin at a rotation center, where the point-group symmetry is $\mathbb D_{2,4,6}$, such a system must have a ground-state degeneracy protected by the crystal symmetry. Such a degeneracy indicates either a broken-symmetry state or a unconventional state of matter. Comparing to the Lieb-Schultz-Mattis Theorem, our result counts the spin at each rotation center, instead of the total spin per unit cell, and therefore also applies to certain systems with an even number of half-integer spins per unit cell.

研究の動機と目的

• 結晶対称性、特に点群対称性にのみ依存する2次元量子スピン系における基底状態デゲネラシーの新たな基準を確立すること。
• 全スピン数や内部対称性に依存しないように、Lieb-Schultz-Mattis枠組みを超えた禁断定理の適用範囲を拡張すること。
• 単位格子あたりの半整数スピン数が偶数であるにもかかわらず、対称性によって保護された基底状態デゲネラシーを示す系を同定すること。
• 実際の物質（平面ペロブスカイト系など）におけるトポロジカルな量子スピン液体の検出に理論的基盤を提供すること。
• 1次元Haldane鎖を構成要素として用い、デゲネラシーを3次元対称性保護型トポロジカル状態の表面と結びつけること。

提案手法

• 著者らは、点群 $\mathbb{D}_{2,4,6}$ の操作におけるスピン自由度の変換性を分析し、半整数スピンがこれらの群の射影的表現として変換されることを示した。
• 各対称性中心における多体ヒルベルト空間が点群の線形表現か射影的表現かを分類するための $\mathbb{Z}_2$ インデックス $\nu_a = \pm 1$ を定義した。
• 証明は、対称的に等価なサイトにおけるヒルベルト空間の積が一様に変換されなければならないという事実に依拠しており、群の乗法則とスピン変換演算子の不一致が射影的表現を生じることを示した。
• まず、壁紙群 p2mm を持つ長方形格子に対して議論を展開し、その後、$\mathbb{D}_{2,4,6}$ の対称性中心を持つ他の2次元格子へ一般化した。
• 1次元Haldane鎖から構成される3次元SPT相の表面として2次元系をマッピングすることにより、3次元SPT状態との関係を確立した。
• 射影的表現の分類などの証明の詳細は、補足資料に記載されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン回転対称性や時間反転対称性に依存せず、結晶対称性のみに依存して2次元量子スピン系の基底状態デゲネラシーを保証できるか？
• RQ2 $\mathbb{D}_{2,4,6}$ の対称性中心に半整数スピンが存在する場合、単位格子あたりの全スピン数が偶数であっても、必ず基底状態デゲネラシーが生じるのか？
• RQ3 本定理は、Lieb-Schultz-Mattis定理とどのように異なり、単位格子あたりの半整数スピン数が偶数である系への適用範囲をどのように拡張するか？
• RQ4 この対称性によって保護されたデゲネラシーは、3次元対称性保護型トポロジカル相の表面状態として理解できるか？
• RQ5 この定理は、量子スピン液体における任意のons統計および対称性分数量子化にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 2次元格子において $\mathbb{D}_{2,4,6}$ の対称性中心に半整数スピンが配置されている場合、単位格子あたりの全スピン数に関係なく、基底状態デゲネラシーが生じる。
• 本定理は、$\mathrm{p4mm}$ 対称性を持つチェッカーボード格子のように、単位格子あたりの半整数スピン数が偶数である系にも適用可能であり、この場合LSM定理は適用されない。
• 基底状態デゲネラシーは結晶対称性のみによって保護されており、スピン回転対称性や時間反転対称性を必要とせず、スピン軌道結合を有する系にも適用可能である。
• デゲネラシーは、半整数スピンが1次元Haldane鎖の端モードとして機能する3次元SPT相の表面状態として理解できる。
• スピン-1/2が $\mathbb{D}_3$ の対称性中心にあるヘキサゴナル格子では、$\mathbb{D}_3$ に非自明な射影的表現が存在しないため、一意の対称基底状態が存在しないことが本結果で説明される。
• 本定理は、特に $\mathbb{D}_{2,4,6}$ の射影的表現を運ぶ任意のonsが関与する量子スピン液体における対称性分数量子化パターンに新たな制約を課える。