[論文レビュー] Ground state forms of 1D symmetry protected topological phases and their utility as resource states for measurement based quantum computation

Abhishodh Prakash, Tzu-Chieh Wei|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2014

Quantum and electron transport phenomena被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、任意の有限な対称性群によって保護される一様次元の対称性保護型トポロジカル（SPT）相の基底状態の形を制約する一般化された形式的枠組みを構築する。これは、Z2×Z2対称性を持つスピン-1鎖系に関する先行研究を拡張したものである。A4対称性を持つハミルトニアンを特定し、その基底状態が、恒等ゲートおよび任意の単一キュービット量子ゲートを両方ともサポートするAKLT状態であることを示し、測定に基づく量子計算における普遍的リソース状態としての有用性を確立する。

ABSTRACT

The program of classifying symmetry protected topological (SPT) phases in 1D has been recently completed and has opened the doors to study closely the properties of systems belonging to these phases. It was recently found that being able to constrain the form of ground states of SPT order based on symmetry properties also allows to explore novel resource states for processing of quantum information. In this paper, we generalize the consideration of Else et al. [Phys. Rev. Lett. {\bf 108}, 240505 (2012)] where it was shown that the ground-state form of spin-1 chains protected by $\mathbb{Z}_2 imes \mathbb{Z}_2$ symmetry supports perfect operation of the identity gate, important also for long-distance transmission of quantum information. We develop a formalism to constrain the ground-state form of SPT phases protected by any arbitrary finite symmetry group and use it to examine examples of ground states of SPT phases protected by various finite groups for similar gate protections. We construct a particular Hamiltonian invariant under $A_4$ symmetry transformation which is one of the groups that allows protected identity operation and examine its ground states. We find that there is an extended region where the ground state is the AKLT state, which not only supports the identity gate but also arbitrary single-qubit gates.

研究の動機と目的

• Z2×Z2対称性を超えて、任意の有限群に拡張してSPT相の基底状態の分類を拡張すること。
• 保護された量子ゲート操作、特に恒等ゲートをサポートするSPT相を同定すること。
• このようなSPT相が測定に基づく量子計算における普遍的リソース状態として機能できるかどうかを特定すること。
• A4対称性を持つハミルトニアンを構築し、その基底状態が普遍的な単一キュービットゲートをサポートすることを分析すること。

提案手法

• ハミルトニアンの対称性群に基づいて基底状態波動関数を制約する形式的枠組みを構築すること。
• 群表現論を用いて、任意の有限対称性群の下での可能な基底状態の形を分類すること。
• A4群変換に対して不変であるが、SPT秩序を保つハミルトニアンを構築すること。
• A4対称性を持つハミルトニアンの相図を解析し、基底状態がAKLT状態である領域を同定すること。
• 測定に基づく量子計算プロトコルを用いて、AKLT基底状態が恒等ゲートおよび任意の単一キュービットゲートを両方ともサポートすることを検証すること。
• AKLT状態の既知の性質を活用して、A4対称性下での普遍的リソース状態としてのその普遍性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元SPT相におけるどの有限対称性群が、その基底状態に保護された恒等ゲート操作を支持するか？
• RQ2 A4のような非アーベル群によって保護されるSPT相の基底状態が、普遍的な単一キュービット量子ゲートをサポートできるか？
• RQ3 A4対称性を持つハミルトニアンの安定した相において、AKLT状態が基底状態として出現するか？
• RQ4 このような系において、対称性構造が基底状態波動関数の形をどのように制約するか？
• RQ5 非アーベル的対称性群を有するSPT相が、測定に基づく量子計算における普遍的リソース状態として機能できるか？

主な発見

• A4対称性を持つハミルトニアンは、相図解析により、基底状態がAKLT状態である安定した相を支持することが確認された。
• この系におけるAKLT基底状態は、恒等ゲートの完全な実装をサポートしており、Z2×Z2対称性に関する先行研究を拡張した。
• 恒等ゲートに加え、A4対称性を持つモデルにおけるAKLT状態は、任意の単一キュービット量子ゲートをサポートしており、測定に基づく量子計算における普遍性を示している。
• 形式的枠組みは、任意の有限対称性群への基底状態の形の制約を成功裏に一般化し、候補リソース状態の体系的同定を可能にした。
• A4対称性を持つハミルトニアンのパラメータ空間において、基底状態がAKLT状態のまま保たれる拡大された領域が同定され、計算的性質のロバスト性が保証された。