[論文レビュー] Ground state preparation and energy estimation on early fault-tolerant quantum computers via quantum eigenvalue transformation of unitary matrices

Yulong Dong, Lin Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1つのアーキバ・キュービットと制御ハミルトニアン発展演算子のみを用いて、故障耐性を持つ初期量子コンピュータ上で基底状態の準備とエネルギー推定を実現する新しい量子アルゴリズム、ユニタリ行列の量子固有値変換（QET-U）を紹介する。この手法は、高価な多キュービット制御を回避し、近似的に最適なクエリ複雑性を達成するとともに、回路の深さを低減し、実用的なハードウェア制約下でも従来手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

Under suitable assumptions, the algorithms in [Lin, Tong, Quantum 2020] can estimate the ground state energy and prepare the ground state of a quantum Hamiltonian with near-optimal query complexities. However, this is based on a block encoding input model of the Hamiltonian, whose implementation is known to require a large resource overhead. We develop a tool called quantum eigenvalue transformation of unitary matrices with real polynomials (QET-U), which uses a controlled Hamiltonian evolution as the input model, a single ancilla qubit and no multi-qubit control operations, and is thus suitable for early fault-tolerant quantum devices. This leads to a simple quantum algorithm that outperforms all previous algorithms with a comparable circuit structure for estimating the ground state energy. For a class of quantum spin Hamiltonians, we propose a new method that exploits certain anti-commutation relations and further removes the need of implementing the controlled Hamiltonian evolution. Coupled with Trotter based approximation of the Hamiltonian evolution, the resulting algorithm can be very suitable for early fault-tolerant quantum devices. We demonstrate the performance of the algorithm using IBM Qiskit for the transverse field Ising model. If we are further allowed to use multi-qubit Toffoli gates, we can then implement amplitude amplification and a new binary amplitude estimation algorithm, which increases the circuit depth but decreases the total query complexity. The resulting algorithm saturates the near-optimal complexity for ground state preparation and energy estimating using a constant number of ancilla qubits (no more than 3).

研究の動機と目的

• 初期の故障耐性を持つ量子コンピュータ上での基底状態準備およびエネルギー推定に向けたブロック符号化ベースの手法の高いリソースオーバーヘッドを解消すること。
• 回路の深さとアーキバ・キュービットの必要数を低減するために、制御ハミルトニアン発展演算子に基づく実用的な入力モデルを開発すること。
• 多キュービット制御ゲートを一切使用せず、1つのアーキバ・キュービットのみで効率的な基底状態エネルギー推定と状態準備を可能にすること。
• スパarsな量子スピンハミルトニアンに対して、反可換関係を活用することで制御ハミルトニアン発展演算子を排除する方法を最適化すること。
• 横磁場イジング模型を用いたQiskitシミュレーションを通じて、アルゴリズムの実現可能性と性能を実証すること。

提案手法

• ハミルトニアン発展演算子から導かれるユニタリ行列の固有値を変換するため、実係数多項式を用いた量子固有値変換（QET-U）を提案する。
• ブロック符号化や多キュービット制御操作を回避するため、1つのアーキバ・キュービットと制御時間発展演算子 $ U = e^{-i\tau H} $ を入力として使用する。
• アーキバ・キュービットの測定確率にエネルギー情報を符号化する制御回転プロトコルにより、アルゴリズムを実装する。
• 近い将来の故障耐性を持つデバイスに適した、ハミルトニアン発展演算子のトロッター近似を活用する。
• 多キュービットトフォリゲートが利用可能な場合、アモニチュード増幅と新しいバイナリアモニチュード推定アルゴリズムを統合し、合計クエリ複雑性を低減する。
• 測定からのマージナル確率推定を用いて、パウリ期待値の符号付き線形結合により基底状態エネルギーを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期の故障耐性を持つデバイス上での基底状態エネルギー推定と準備を、近似的に最適なクエリ複雑性を達成するとともに、回路の深さとアーキバ・キュービット使用数を最小限に抑えることは可能か？
• RQ2 制御ハミルトニアン発展演算子モデルは、リソースオーバーヘッドを低減するためのブロック符号化の代替として機能できるか？
• RQ3 特定のハミルトニアン（例：横磁場イジング模型）における反可換関係は、制御発展演算子の必要性を排除するために活用可能か？
• RQ4 実際の量子ハードウェア制約下で、QET-Uアルゴリズムのクエリ複雑性と回路の深さについて、従来手法と比較して性能に優れているか？
• RQ5 完全な状態トモグラフィーを実施せずに、測定データからマージナル確率を用いてエネルギー推定を効率的に計算できるか？

主な発見

• QET-Uアルゴリズムは、1つのアーキバ・キュービットと多キュービット制御ゲートを一切使用せず、基底状態エネルギー推定と準備において近似的に最適なクエリ複雑性を達成する。
• 横磁場イジング模型では、2つの回路（基底状態用とすべてのキュービットにハダマードゲートを適用した後）のマージナル確率を測定することでエネルギー推定が可能となる。
• ブロック符号化ベースの手法と比較して回路の深さを顕著に低減し、コherenct時間の限られた初期の故障耐性を持つデバイスに適している。
• 特定のハミルトニアンにおける反可換関係を活用することで、制御ハミルトニアン発展演算子の必要性が排除され、回路がさらに簡素化される。
• トフォリゲートが利用可能な場合、アモニチュード増幅と新しいバイナリアモニチュード推定アルゴリズムにより、合計クエリ複雑性が低減されるが、回路の深さは増加する。
• Qiskitを用いた数値的結果から、アルゴリズムは横磁場イジング模型において優れた性能を示しており、測定周波数とマージナル確率から基底状態エネルギーが正確に推定されている。