[論文レビュー] Ground state solution for a class of differential equations with left and right fractional derivatives

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 35被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$\alpha \in (1/2, 1)$ である左および右のリーマン＝リウビルト分数階微分を含む分数階微分方程式に対して、Sobolev空間 $H^\alpha(\mathbb{R})$ 内で、マウンテンパス定理と比較論法を用いて、非自明な地面状態解が少なくとも1つ存在することを確立している。主な貢献は、非線形関数 $f(t,u)$ に対して一般な成長条件を仮定した場合でも、ポテンシャルに制限的な強凸性条件を要求しないで、有限エネルギーを持つ臨界点の存在を示したことにある。

ABSTRACT

In this work we study the existence of solution for a class of fractional differential equation given by \begin{eqnarray}\label{eq00} _{t}D_{\infty}^α{_{-\infty}}D_{t}^αu(t) + u(t) = & f(t,u(t))\\ u\in H^α(\mathbb{R}). onumber \end{eqnarray} where $α\in (1/2, 1)$, $t\in \mathbb{R}$, $u\in \mathbb{R}$, $f\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Using mountain pass theorem and comparison argument we prove that ( ef{eq00}) at least has one nontrivial solution.

研究の動機と目的

• 左および右のリーマン＝リウビルト分数階微分を含む分数階微分方程式の非自明解の存在を確立すること。
• 混合微分を有する分数階問題に臨界点理論を適用する困難を、$H^\alpha(\mathbb{R})$ 内で適切な変分的枠組みを構築することによって克服すること。
• 非線形関数 $f(t,u)$ に対して一般な成長条件を仮定した場合でも、$L(t) \geq l(t)I$ のような制限的な強凸性条件を要求しないで、地面状態解の存在を証明すること。
• Palais-Smale 条件が成り立ち、汎関数がマウンテンパス定理の幾何的要件を満たすことを示し、臨界点の存在を保証すること。

提案手法

• $\alpha \in (1/2, 1)$ に対して、分数階ソボレフ空間 $H^\alpha(\mathbb{R})$ 内で、演算子 ${}_{t}D_{\infty}^{\alpha}{{}_{-\infty}}D_{t}^{\alpha}u(t)$ を用いて問題を変分的方程式として定式化する。
• 方程式 ${{}_{t}D_{\infty}^{\alpha}{{}_{-\infty}}D_{t}^{\alpha}u(t)} + u(t) = f(t,u(t))$ に関連するエネルギー汎関数 $I(u)$ を定義し、その臨界点を分析する。
• マウンテンパス定理を適用するため、幾何的条件を検証する：$I(0) = 0$、ある経路に沿って $I(u) \to -\infty$、および $I$ が正の最大値を取る経路の存在。
• 元の汎関数 $I$ と切り詰められた非線形関数 $\overline{f}$ に関連する修正された汎関数 $\overline{I}$ の間の比較論法を用いて、Palais-Smale 列の挙動を制御する。
• コンパクト埋め込み定理と $H^\alpha(\mathbb{R})$ 内の弱収束論法を用いて、平行移動後の有界な Palais-Smale 列が強収束することを示す。
• 背理法を用いて非自明な弱解の存在を示し、列 $\{w_n\}$ が無限遠で消えると仮定すると、$c < \overline{c}$ の厳密な不等式と矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左および右のリーマン＝リウビルト微分を含む、$\alpha \in (1/2, 1)$ の分数階微分方程式は、$H^\alpha(\mathbb{R})$ 内で少なくとも1つの非自明な解をもつか？
• RQ2 分数階微分の非局所性と標準的な強凸性の欠如を考慮しても、マウンテンパス定理をこのクラスの問題に適用できるか？
• RQ3 ポテンシャル $L(t)$ が $L(t) \geq l(t)I$ のような強制的な強凸性条件を満たさない場合でも、地面状態解の存在を証明できるか？
• RQ4 非線形関数 $f(t,u)$ の挙動は、特に $f$ が原点で準二次的で無限大で超二次的である場合に、臨界点の存在にどのように影響するか？
• RQ5 $I$ と $\overline{I}$ の間の比較論法は、Palais-Smale 列の消える挙動を除外し、非自明な解の存在を保証するために用いることができるか？

主な発見

• 方程式 ${{}_{t}D_{\infty}^{\alpha}{{}_{-\infty}}D_{t}^{\alpha}u(t)} + u(t) = f(t,u(t))$ は、$\alpha \in (1/2, 1)$ および $f \in C(\mathbb{R} \times \mathbb{R})$ で適切な成長条件を満たす場合、$H^\alpha(\mathbb{R})$ 内で少なくとも1つの非自明な解をもつ。
• 方程式に関連する汎関数 $I(u)$ はマウンテンパスの幾何的性質と (PS) 条件を満たし、臨界点が $c < \overline{c}$ のレベルに存在することを保証する。
• 非自明な弱解 $u \in H^\alpha(\mathbb{R})$ が存在し、これはすべての非自明な臨界点の中で最小エネルギーを達成するため、地面状態解である。
• 本稿の証明は、先行研究で用いられた制限的な強凸性条件 $L(t) \geq l(t)I$ を回避しており、より広範な問題クラスに適用可能である。
• $I$ と $\overline{I}$ の比較論法に加え、集中・コンパクトネスの原理を用いることで、Palais-Smale 列の消える挙動が排除され、非自明な解の存在が保証される。
• 汎関数 $I$ の臨界値 $c$ は、切り詰められた汎関数の対応する臨界値 $\overline{c}$ よりも厳密に小さいことが示され、証明における背理法の根拠として不可欠である。