[論文レビュー] Ground state solution of a nonlocal boundary-value problem

Cyril Joël Batkam|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非局所的キルヒホッフ型方程式に対して、一般の4-超線形条件のもとでアムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を要請しない状況において、ネハリ多様体法を用いて基底状態解の存在を確立する。さらに、非線形項が奇対称である場合、ネハリ多様体がC¹-滑らかでない場合でさえも、無限個の解の存在を示す。

ABSTRACT

In this paper, we apply the method of the Nehari manifold to study the Kirchhoff type equation \begin{equation*} -\Big(a+b\int_Ω| abla u|^2dx\Big)Δu=f(x,u) \end{equation*} submitted to Dirichlet boundary conditions. Under a general $4-$superlinear condition on the nonlinearity $f$, we prove the existence of a ground state solution; that is a nontrivial solution which has least energy among the set of nontrivial solutions. In case which $f$ is odd with respect to the second variable, we also obtain the existence of infinitely many solutions. Under our assumptions the Nehari manifold does not need to be of class $\mathcal{C}^1$.

研究の動機と目的

• 一般の4-超線形非線形項を有する非局所的キルヒホッフ型方程式に対して、基底状態解の存在を確立すること。
• 与えられた仮定のもとでネハリ多様体がC¹-滑らかでないという課題に対処すること。
• 非線形項が奇対称性条件を満たす場合に、無限個の解の存在を証明すること。
• 古典的なアムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を仮定しないでも、パライス＝スメイル境界が保証されることを示すこと。

提案手法

• エネルギー汎関数を制約多様体上での最小化問題に還元するために、ネハリ多様体法を用いる。
• 臨界点を分析するため、関数 $ \alpha_u(t) = \Phi(tu) $ を用いたファイバリング写像アプローチを適用する。
• パライス＝スメイル系列を抽出するために、ソボレフ空間 $ H_0^1(\Omega) $ の単位球面上でエケランドの変分原理を用いる。
• 単位球面からネハリ多様体へのホメオモルフィズム $ M: S \to \mathcal{N} $ を用いて、最小化問題を球面からネハリ多様体へ移行する。
• ファトウの補題とRellich-Kondrashovのコンパクト性を用いて、パライス＝スメイル系列の有界性と収束性を証明する。
• 非線形項の構造と成長条件を活用し、弱収束と $ H_0^1(\Omega) $ での強収束を用いて臨界点の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネハリ多様体がC¹-滑らかでない場合でも、非局所的キルヒホッフ方程式に対して基底状態解を確立できるか？
• RQ2 アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を欠如させても、4-超線形成長のもとで基底状態解の存在は妨げられないか？
• RQ3 非線形項の対称性が無限個の解を生じる条件は何か？
• RQ4 アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を満たさないが4-超線形成長を満たす非線形項に対しても、基底状態解が存在するか？

主な発見

• 条件 (f₁)–(f₄) を満たす限り、問題は基底状態解、すなわちすべての非自明解の中で最小エネルギーを持つ非自明解を有する。
• ネハリ多様体がクラス $ \mathcal{C}^1 $ である必要はなく、単位球面からネハリ多様体へのホメオモルフィズムによっても同様に手法は成功する。
• 非線形項が奇関数（f₅）であるとき、エネルギー汎関数は偶関数となり、問題は無限個の異なる解の対を有する。
• アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を仮定しないでも、基底状態解の存在が証明された。これは標準的仮定の顕著な緩和である。
• 明示例 $ f(x,u) = u^3 \ln(1 + |u|) $ は (f₁)–(f₅) を満たすが、アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を満たさない。
• この例に対してアムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を仮定すると成長率に矛盾が生じるため、条件が満たされないことが確認され、結果の一般性が裏付けられる。