[論文レビュー] Ground states and high energy solutions of the planar Schrödinger-Poisson system

Miao Du, Tobias Weth|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$2 < p < 4$ の下で、平面シュレーディンガー＝ポアソン系に対して基底状態および無限に多くの符号変化型高エネルギー解の存在を確立する。変分枠組みにおける主要なギャップを埋めるために、局所的および非局所的超二次的項の競合する性質を扱う、独創的な手法を開発した。著者らは、非平行移動不変ノルムのもとで、群論的対称性削減とコンパクト性の議論を用いて、重み付きソボレフ空間 $X$ 内でこれらの結果を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the Schrödinger-Poisson system \begin{equation} (0.1)\qquad -Δu + u +ϕu = |u|^{p-2}u \quad ext{in}\ \mathbb{R}^{d},\qquad Δϕ= u^{2} \quad ext{in}\ \mathbb{R}^{d}. \end{equation} Due to its relevance in physics, the system has been extensively studied and is quite well understood in the case $d \ge 3$. In contrast, much less information is available in the planar case $d=2$ which is the focus of the present paper. It has been observed by Cingolani and the second author \cite{Cingolani-Weth-2016} that the variational structure of $(0.1)$ differs substantially in the case $d=2$ and leads to a richer structure of the set of solutions. However, the variational approach of \cite{Cingolani-Weth-2016} is restricted to the case $p \ge 4$ which excludes some physically relevant exponents. In the present paper, we remove this unpleasant restriction and explore the more complicated underlying functional geometry in the case $2

研究の動機と目的

• 平面シュレーディンガー＝ポアソン系に対して、$2 < p < 4$ の範囲で、従来の研究で除外されていた物理的に重要な範囲における解の存在結果が不足している問題を解決する。
• 標準的なコンパクト性が失敗する非強制的かつ平行移動不変でないノルムのもとで、$X = \{u \in H^1(\mathbb{R}^2) : \int \log(1+|x|)u^2 dx < \infty\}$ における変分枠組みの制限を克服する。
• 対数畳み込みポテンシャルの場合に、基底状態解および無限に多くの非回転対称な符号変化解の存在を確立する。
• 局所的項 $|u|^p$ と非局所的項 $\Phi_2 * |u|^2$ の競合するスケーリング挙動を、$2 < p < 4$ の範囲で変分的枠組みで扱える新しい変分的アプローチを提供する。
• CingolaniとWeth [6] の結果を $p \geq 4$ にまで拡張し、物理的に重要なケース $p=3$ を含むように拡張する。

提案手法

• 非局所項を定義する対数ポテンシャル $\Phi_2(x) = \frac{1}{2\pi}\log|x|$ を用いて、シュレーディンガー＝ポアソン系を重み付きヒルベルト空間 $X$ 内の変分問題として定式化する。
• 回転 $\pi/3^n$ を生成する $O(2)$ の部分群 $G_n \subset O(2)$ を用いた群論的対称性削減を行い、$G$-不変関数の部分空間 $X_G$ を定義する。
• $X_G$ 内で修正された Cerami 列の議論を適用し、群 $G$ のコンパクト性と固定点集合 $\text{Fix}(G)$ を利用して有界性と収束性を確立する。
• 非平行移動不変ノルムと対数畳み込みの構造を用いて、$X_G$ 内の Cerami 列が平行移動および群平均化の後で強収束することを証明する。
• $G_n$ によるエネルギー関数の不変性と、入れ子構造 $X_{G_{n+1}} \subset X_{G_n}$ を用いて、ノード数が増加する解の列を構成する。
• 背理法により非自明な極限解の存在を示し、稠密な回転対称性により任意の極限が恒等的に消失しなければならないことを示し、エネルギー準位が非有界であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $2 < p < 4$ の範囲で、変分枠組みの崩壊により従来の研究で除外されていた平面シュレーディンガー＝ポアソン系に対して、基底状態解を確立できるか？
• RQ2 $2 < p < 4$ の範囲で、強制的でなく平行移動不変でもない空間 $X$ 内で、エネルギー関数 $I$ が有界な Cerami 列を許容するか？
• RQ3 対称性に基づく変分法を用いて、$2 < p < 4$ の平面系に対して無限に多くの非回転対称な符号変化解を構成できるか？
• RQ4 $2 < p < 4$ の範囲で、局所的項 $|u|^p$ と非局所的項 $\Phi_2 * |u|^2$ の競合するスケーリング挙動を、変分的枠組みでどのように調和させられるか？
• RQ5 $p \geq 4$ を超えて高エネルギー解の存在を拡張し、物理的に重要なケース $p=3$ を含めることは可能か？

主な発見

• 本稿は、$2 < p < 4$ の範囲で、重み付き空間 $X$ 内で平面シュレーディンガー＝ポアソン系に対して基底状態解の存在を証明し、長年の文献的ギャップを解消した。
• 無限に多くの非回転対称な符号変化解が、任意に多くのノード領域を持つこと、それぞれのエネルギー準位が $c_{mp,G_n}$ に等しく、$n \to \infty$ のとき発散することを確立した。
• 解の列 $u_n \in X_{G_n}$ に対して $\limsup_{n \to \infty} I(u_n) = \infty$ が成り立つことを示し、解の高エネルギー性を確認した。
• 証明は、群平均化と固定点集合を用いた独創的なコンパクト性議論に依拠しており、非平行移動不変ノルムのもとで逐次的コンパクト性を回復した。
• 次元 $d=2$ における対数ポテンシャルの構造と対称性を活用することで、局所的項と非局所的項の競合するスケーリング挙動を、$\Phi_2(x) = \frac{1}{2\pi}\log|x|$ の形で効果的に扱った。
• 稠密な回転対称性により、このような解の任意の極限が恒等的に消失しなければならないことを示す背理法により、エネルギー準位が非有界であることを導いた。