[論文レビュー] Ground States of the Yukawa models with Cutoffs

Toshimitsu Takaesu|ArXiv.org|Dec 25, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、すべての結合定数に対して全ハミルトニアンの一様な正のスペクトルギャップが保証されることを示すことにより、紫外・空間的カットオフを施した質量のあるユカワ模型における基底状態の存在を確立する。運動量格子近似とノルムリゾルベント収束を用いて、ハミルトニアンがその底近くで純粋に離散的スペクトルを持つことを示し、摂動論的でない相互作用の強さにもかかわらず基底状態が存在することを保証する。

ABSTRACT

Ground states of the so called Yukawa model is considered. The Yukawa model describes a Dirac field interacting with a Klein-Gordon field. By introducing both ultraviolet cutoffs and spatial cutoffs, the total Hamiltonian is defined as a self-adjoint operator on a boson-fermion Fock space. It is shown that the total Hamiltonian has a positive spectral gap for all values of coupling constants. In particular the existence of ground states is proven.

研究の動機と目的

• 紫外および空間的カットオフを施したユカワ模型における基底状態の存在を確立すること。
• 結合定数のすべての値に対して全ハミルトニアンが正のスペクトルギャップを持つことの証明、特に摂動論的でない領域を含むこと。
• 摂動論の限界を克服し、質量のない模型からの結果を質量のある、相互作用を含む量子場理論に拡張すること。
• カットオフ正則化を用いて、ボソン・フェルミオンのフォック空間上でのハミルトニアンの厳密なスペクトル解析を提供すること。

提案手法

• フォック空間上での生成・消滅演算子が適切に定義されるように、ディラック場およびクライン＝ゴルドン場に紫外カットオフを導入する。
• 相互作用項に空間的カットオフを課して、可積分性と局在性を保証する。
• 運動量格子近似を適用して系を離散化し、ハミルトニアンを有限次元演算子の列に変換する。
• カト・レリッヒの定理を用いて、全ハミルトニアンの自己共役性および下からの有界性を保証する。
• ノルムリゾルベント収束を用いて、格子正則化されたハミルトニアンが格子サイズを大きくする極限で全ハミルトニアンに収束することを示す。
• スペクトル論を用いて、格子ハミルトニアンが基底状態エネルギーの近傍で純粋に離散的スペクトルを持ち、それが全ハミルトニアンに引き継がれることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 紫外および空間的カットオフを施したユカワ模型が、結合定数のすべての値に対して基底状態を持つのか？
• RQ2 特に摂動論的でない領域においても、全ハミルトニアンに正のスペクトルギャップを確立できるか？
• RQ3 特に空間的および紫外方向においてカットオフを除去する極限において、基底状態の構造が保存されるか？
• RQ4 格子近似を用いて、すべての結合定数に対してスペクトルギャップが下から一様に有界に保たれるか？
• RQ5 質量のある場の存在が、質量のない模型と比較してスペクトル的性質にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 紫外および空間的カットオフを施したユカワ模型の全ハミルトニアンは自己共役的であり、下から有界である。
• 結合定数 κ > 0 のすべての値に対して、ハミルトニアンは正のスペクトルギャップを持つ。
• スペクトルギャップは、結合定数の強さに依存しない正の定数によって一様に下から有界である。
• 基底状態はスペクトルの底に位置する孤立した固有値として存在する。
• 格子正則化ハミルトニアン H_{L,V} は、その基底状態エネルギーの近傍で純粋に離散的スペクトルを持つ。
• ノルムリゾルベント収束により、全ハミルトニアン H はその底近くで純粋に離散的スペクトルを引き継ぎ、基底状態の存在が確認される。