[論文レビュー] Group actions and Helly's theorem

Benson Farb|ArXiv.org|Jun 10, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、セールの性質 $\operatorname{FA}$ の一般化として、$r$ 次元の $\operatorname{CAT}(0)$ 空間への群作用の固定点定理を確立するための性質 $\operatorname{FA}_r$ を導入する。群生成子の組合せ論と凸集合に関するヘリの定理を結びつけることで、$S$-整数論的群や $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_d]$ のような環上のチーガルリー群が、次元 $r-2$ まで強い固定点性質を持つことが示され、アフィン・ビルディングへの作用を通じて、鋭い境界が得られている。

ABSTRACT

We describe a connection between the combinatorics of generators for certain groups and the combinatorics of Helly's 1913 theorem on convex sets. We use this connection to prove fixed point theorems for actions of these groups on nonpositively curved metric spaces. These results are encode d in a property that we introduce called ``property $\FA_r$'', which reduces to Serre's property $\FA$ when $r=1$. The method applies to $S$-arithmetic groups in higher $\Q$-rank, to simplex reflection groups (including some non-arithmetic ones), and to higher rank Chevalley groups over polynomial and other rings (for example $\SL_n(\Z[x_1,..., x_d]), n>2$).

研究の動機と目的

• セールの性質 $\operatorname{FA}$ を $\operatorname{CAT}(0)$ 空間への群作用の高次元固定点定理へ拡張すること。
• 木を超える複体に作用する高ランク群に対する固定点理論におけるギャップ、特に中間次元における問題を解決すること。
• $S$-整数論的群およびチーガルリー群の環上における固定点性質の鋭い次元境界を確立すること。
• 非格子群に対しても適用可能な、単型生成子の組合せ論とヘリの定理を用いた新しい手法を開発すること。

提案手法

• セールの $\operatorname{FA}$ の一般化として、$r$ 次元の $\operatorname{CAT}(0)$ 複体において全空間に固定点を持つ性質 $\operatorname{FA}_r$ を導入すること。
• ヘリの定理（凸集合に関する）を用いて、$r$ 次元の $\operatorname{CAT}(0)$ 空間内に存在する $r+1$ 個の凸集合が、任意の2つが交わるならば、それらの全集合の共通部分も空でないことを示すこと。
• 各々が固定点を持つ $r+1$ 個の有限生成ノルム部分群によって生成される群に対して、その方法を適用し、各元のべきがノルム部分群の交換子群に属する条件を満たすようにすること。
• 特に $r^p \in [U,U]$ となるノルム部分群 $U$ を持つチーガルリー群生成子の組合せ的性質を活用し、個々の元や部分群に対して固定点を保証すること。
• 半単純作用と開集合における $n$ 次ホモロジーの消滅を要請する、強い $\operatorname{FA}_n$ 性質を用いること。
• ブルハット＝ティツの固定点定理を反射群の頂点安定化部分群に適用し、それらの固定集合が $n$-単体と同相なネ混合体をなすこと、これによりヘリ型の共通部分集合の議論が可能になること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S$-整数論的群が、$r-2$ より小さい次元の $\operatorname{CAT}(0)$ 複体に対して固定点を持たずに作用できるか？
• RQ2 高ランクのチーガルリー群、例えば $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_d])$ は、$n-1$ より小さい次元の $\operatorname{CAT}(0)$ 複体に対して非自明な作用を持つことができるか？
• RQ3 $S$-整数論的群に対する固定点性質の次元境界 $r-2$ は鋭いか？
• RQ4 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p])$ の固定点性質は、$n-1$ より小さい次元の複体で実現可能か？
• RQ5 チーガルリー群における単型生成子の組合せ的構造は、ヘリ型定理を通じて固定点行動を示唆するか？

主な発見

• $n \geq 3$ のとき、群 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ は強い $\operatorname{FA}_n$ を持ち、任意の $n$ 次元の $\operatorname{CAT}(0)$ 空間で固定点を持つ。
• $n \geq 3$ のとき、$\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ や $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p])$ の任意の有限指数部分群は強い $\operatorname{FA}_{n-2}$ を持ち、この境界は鋭い。
• $k$-ランク $r \geq 2$ の $k$-群 $G$ に対応する $S$-整数論的群 $\Gamma$ は強い $\operatorname{FA}_{r-2}$ を持ち、マーガリスおよびセールの結果を一般化する。
• 有限生成可換環 $R$ 上のランク $r \geq 2$ のチーガルリー群 $E(\Phi,R)$ は強い $\operatorname{FA}_{r-1}$ を満たし、フクナガの $\operatorname{FA}_1$ 結果を拡張する。
• $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p])$ が $\mathbb{Q}_p$ 上の $n-1$ 次元アフィン・ビルディングに作用する様子から、$\operatorname{FA}_{n-2}$ が鋭いことが示され、より低い次元では固定点が存在しない。
• 反射群が $\mathbb{R}^n$ や $\mathbb{H}^n$ 内の $n$-単体に作用する場合、頂点安定化部分群の固定集合は $n$-単体と同相なネ混合体をなし、ヘリの定理により次元 $m < n$ においても全空間に固定点が存在する。