[論文レビュー] Group Actions on Banach Spaces

Piotr W. Nowak|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 78被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ヒルバート空間を超えた一般のバナッハ空間における群作用の不動点性質に関する最近の進展を調査し、カジダンの性質(T)をヒルバート空間から拡張する。非ヒルバート空間における性質(T)のコhomological一般化よりも強い不動点性質が成り立つことを示す。特に、双曲的群は $L_p$-空間上に $p \geq \hbar(G)$ に対して固有の等長的アフィン作用を持つことが示され、$p \geq 4n+2$ のとき、群 $\mathrm{Sp}(n,1)$ は $L_p$ 上に不動点性質を持つ。これは、非ヒルバート設定において不動点性質がコhomological一般化の性質(T)よりも厳密に強いことを示している。

ABSTRACT

We survey the recent developments concerning fixed point properties for group actions on Banach spaces. In the setting of Hilbert spaces such fixed point properties correspond to Kazhdan's property (T). Here we focus on the general, non-Hilbert case, we discuss the methods, examples and several applications.

研究の動機と目的

• カジダンの性質(T)の理論をヒルバート空間から一般のバナッハ空間へ拡張すること。
• 非ヒルバートバナッハ空間上でのアフィン等長的群作用の不動点の存在を調査すること。
• 非ヒルバート設定における不動点性質とコhomological消失の関係を明確にすること。
• 不動点性質とバナッハ空間上での距離的に固有の作用との相互作用を調査すること。
• 微分同相群や写像類群が一様凸バナッハ空間上に作用する際の未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 不動点問題をコhomological消失条件に翻訳するために、群コホモロジーとコサイクル技術を用いる。
• ミネイエフの平均化構成を用いて、離散的類似の接ベクトルを構成し、固有コサイクルを構築する。
• 双曲的境界上の視覚的距離を用いて $G$-不変測度を定義し、$L_p$-コサイクルを構成する。
• マズール写像とほぼ不変ベクトルを用いて、$p \in [1,2)$ の $L_p$-空間における不動点スペクトルを分析する。
• スペクトル基準と一様有界性を用いて、反射的バナッハ空間における不動点性質を研究する。
• 自己同型次元と双曲的次元を用いて、$L_p$-空間上への固有作用の閾値を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての非初等的双曲的群は、$p \geq \hbar(G)$ に対して $L_p$-空間上に固有の等長的アフィン作用を持つだろうか？
• RQ2 非ヒルバート設定において、$p \neq 2$ のとき、$L_p$-空間上の不動点性質は、カジダンの性質(T)のコhomological一般化よりも厳密に強いだろうか？
• RQ3 コンパクト多様体上の微分同相群の有限生成部分群は、一様凸バナッハ空間上に固有の等長的アフィン作用を持つだろうか？
• RQ4 十分に大きな $p$ に対して、曲面の写像類群は $L_p$-空間上に固有の等長的アフィン作用を持つだろうか？
• RQ5 非ヒルバートバナッハ空間における相対的不動点性質と相対的性質(T)の関係は何か？

主な発見

• $p \geq 4n+2$ のとき、群 $\mathrm{Sp}(n,1)$ は $L_p(G)$ 上に不動点性質を持つ。これは、非ヒルバート設定において不動点性質がコhomological一般化の性質(T)よりも厳密に強いことを示している。
• 双曲的群は、一部の $p \geq 2$ に対して $L_p(G \times G)$ 上に固有の等長的アフィン作用を持つ。ユの平均化構成によって示された。
• 非初等的双曲的群に対しては、すべての $p \geq \hbar(G)$ に対して $L_p(\partial G \times \partial G)$ 上に固有作用が存在する。ここで $\hbar(G)$ は双曲的次元である。
• $L_p$-空間上に固有コサイクルが存在する $p \geq \hbar(G)$ ならば、不動点スペクトル $\mathcal{F}(G)$ は有界であり、この有界性は鋭い。
• $p \in [1,2)$ のとき、不動点スペクトルは有界でない可能性があり、マズール写像とほぼ不変ベクトルはこの場合を分析するための主要な道具である。
• 境界 $\partial G$ の自己同型次元は、$\ell_p$-コホモロジーの非消失の閾値を決定し、したがって固有作用の存在に影響を与える。