[論文レビュー] Group actions on filtered modules and finite determinacy. Finding large submodules in the orbit by linearization

Genrich Belitskii, Dmitry Kerner|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2012

Rings, Modules, and Algebras被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、局aura環上のフィルター付き加群への群作用の有限決定性の必要十分条件を、軌道の接空間 $T_{(Gz,z)}$ と変形空間 $Σ$ の関係性を分析することによって確立する。主な結果は、$M_j \subseteq T_{(G^{(1)}z,z)}$ ならば、軌道 $Gz$ が $">z\} + M_j$ という開近傍を含むことを示しており、線形化とアーティン型近似を用いて、一般の環、加群、群作用のクラスに古典的有限決定基準を拡張する。

ABSTRACT

Fix a module M over a local ring R and a group action G on M, not necessarily R-linear. To understand how large is the G-orbit of an element z\in M one looks for the large submodules of M lying in Gz. We provide the corresponding (necessary/sufficient) conditions in terms of the tangent space to the orbit, T_{(Gz,z)}. This question originates from the classical finite determinacy problem of Singularity Theory. Our treatment is rather general, in particular we extend the classical criteria of Mather (and many others) to a broad class of rings, modules and group actions. When a particular `deformation space' is prescribed, Σ\subseteq M, the determinacy question is translated into the properties of the tangent spaces, T_{(Gz,z)}, T_{(\Si,z)}, and in particular to the annihilator of their quotient.

研究の動機と目的

• 特異点論における古典的有限決定基準を、任意の局aura環、フィルター付き加群、非線形群作用へ一般化すること。
• 要素 $z \in M$ の $G$-軌道がフィルター位相において $\{z\} + M_j$ という開近傍を含む条件を特定すること。
• 接空間 $T_{(Gz,z)}$ とその変形部分空間 $\Sigma \subseteq M$ との相互作用を用いた、有限 $G$-決定性の必要十分条件を提示すること。
• ヘンゼル環と相対的群作用を用いて変形族の理論を拡張し、1パラメータ族に対して軌道の包含関係を保証すること。

提案手法

• 軌道 $Gz$ の点 $z$ における接空間 $T_{(Gz,z)}$ を、軌道の大きさを特定する主要対象として分析する。
• 群作用の線形化を用いて、問題を安定化群の単位元における接空間 $T_{(G^{(1)}z,z)}$ の研究に還元する。
• アーティン型近似定理を適用し、完成化 $\widehat{R}$ における形式的解を $R$ における解に持ち上げることで、軌道が $\{z\} + M_j$ を含むことを保証する。
• フィルター付き設定における中島の補題を用いて、$M_j \subseteq T_{(G^{(1)}z,z)}$ ならば $\{z\} + M_j \subseteq Gz$ が成り立つことを確立する。
• 1パラメータ族 $z(t) \in SM$ に対して、$S = \mathbb{k}[[t]]$ または $S = \mathbb{k}\{t\}$ を想定し、$z(t) \in \{z\} + T_{(Gz,z)}$ ならば、相対群作用 $G_S \subset GL_S(SM)$ を用いて $z(t) \in Gz$ を示す。
• 軌道の完成化と $\widehat{G}^{(1)}\hat{z}$ の構造を用いて、$T_{(\widehat{G}^{(1)}z,z)}$ と $\widehat{M}_j$ の関係を確立し、これにより定理4.6および補題3.19の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用 $G$ による $z \in M$ の軌道が、フィルター位相において $\{z\} + M_j$ という開近傍を含む条件は何か？
• RQ2 $G$-不変な変形部分空間 $\Sigma \subseteq M$ に対して、$z$ の有限決定性を接空間データを用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 商空間 $T_{(\Sigma,z)} / T_{(Gz,z)}$ の annihilator が有限決定性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 点ごとに $\{z\} + T_{(Gz,z)}$ に含まれる1パラメータ族 $z(t) \in SM$ が、軌道 $Gz$ の元に持ち上げられるか？
• RQ5 $T_{(G^{(1)}z,z)} \subseteq T_{(M,z)} \approx M$ という条件を、結論 $M_j \subseteq T_{(G^{(1)}z,z)}$ を保つ限りで弱める余地はあるか？

主な発見

• もし $M_j \subseteq T_{(G^{(1)}z,z)}$ ならば、$\{z\} + M_j \subseteq Gz$ が成り立ち、これは軌道がフィルター位相において $z$ の近傍を含むことを意味する。
• $M_j \subseteq T_{(G^{(1)}z,z)}$ という条件は、$z$ が $k$-決定的であること（$k = j$）の必要十分条件であり、古典的基準を一般化する。
• ユニポテンツ群作用およびヘンゼル環 $S$ の下で、$z(t) \in SM_j$ かつ $z(t) \in \{z\} + T_{(Gz,z)}$ ならば、$z(t) \in Gz$ が成り立ち、1パラメータ族の軌道包含が保証される。
• アーティン型近似の使用により、$\widehat{R}$ における形式的解を $R$ に持ち上げられ、$\{z\} + M_j \subseteq G^{(1)}z$ が保証される。
• 軌道の完成化は $\{z\} + \widehat{M}_j \subseteq \widehat{G}^{(1)}\hat{z}$ を満たし、これにより $\widehat{M}_j \subseteq \overline{T_{(\widehat{G}^{(1)}z,z)}}$ が得られ、完成化と接空間構造の関係が結びつく。
• たとえ $T_{(G^{(1)}z,z)} \cap M_\infty$ が部分加群（例えば自明）であっても、$M_j \subseteq T_{(G^{(1)}z,z)}$ を保証するには十分でない。$R = \mathbb{k}[[x]]$ および $M = R$ を用いた反例により示されている。