[論文レビュー] Group Activity Selection with Few Agent Types

Robert Ganian, Sebastian Ordyniak+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、エージェントの種類数をパrameterとするグループ活動選択問題（GASP、sGASP、gGASP）のパrameterized複雑性を解消した。GASPに対して固定パrameter tractable（FPT）なアルゴリズムを提示し、sGASPに対しては新しいサブセットサム技法と巡回のない解の圧縮を用いたXPアルゴリズムを提示した。一方で、シドン数列と制限付き多次元サブセットサムの変種を用いたW[1]-hardness結果も得られた。

ABSTRACT

The Group Activity Selection Problem (GASP) models situations where a group of agents needs to be distributed to a set of activities while taking into account preferences of the agents w.r.t. individual activities and activity sizes. The problem, along with its well-known variants sGASP and gGASP, has previously been studied in the parameterized complexity setting with various parameterizations, such as number of agents, number of activities and solution size. However, the complexity of the problem parameterized by the number of types of agents, a natural parameter proposed already in the first paper that introduced GASP, has so far remained unexplored. In this paper we establish the complexity map for GASP, sGASP and gGASP when the number of types of agents is the parameter. Our positive results, consisting of one fixed-parameter algorithm and one XP algorithm, rely on a combination of novel Subset Sum machinery (which may be of general interest) and identifying certain compression steps which allow us to focus on solutions which are "acyclic". These algorithms are complemented by matching lower bounds, which among others close a gap to a recently obtained tractability result of Gupta, Roy, Saurabh and Zehavi (2017). In this direction, the techniques used to establish W[1]-hardness of sGASP are of particular interest: as an intermediate step, we use Sidon sequences to show the W[1]-hardness of a highly restricted variant of multi-dimensional Subset Sum, which may find applications in other settings as well.

研究の動機と目的

• パrameterized複雑性における長年の未解決問題を閉じる：エージェントの種類数をパrameterとするGASP、sGASP、gGASPの複雑性を解明すること。
• エージェントの種類数をパrameterとする問題を扱うために、サブセットサムと解の非巡回性に焦点を当てた新規アルゴリズム技法を開発すること。
• W[1]-hardnessを示す下界を確立し、特にシドン数列を用いた新しい還元によりsGASPのW[1]-hardnessを示すこと。
• エージェント、活動、エージェントの種類数というパrameterの組み合わせにおけるGASPの変種の完全な複雑性マップを提供すること。

提案手法

• 任意の解を等価な非巡回解に圧縮する新規圧縮技法を導入し、効率的な探索を可能にする。
• エージェントの種類数の動的計画法を可能にする「木型サブセットサム」と呼ばれるサブセットサムの新変種を用いて、GASPの固定パrameterアルゴリズムを開発する。
• エージェントグループの分割と分岐戦略を組み合わせた「分割済み多次元サブセットサム（SMPSS）」を用いて、sGASPのXPアルゴリズムを提案する。
• シドン数列を用いて、非常に制限された多次元サブセットサムの変種のW[1]-hardnessを証明し、これが核心的なハードネスの道具（gadget）となる。
• 推定されたエージェントグループと活動割り当ての下で安定性を検証するための二部マッチングの定式化を構築する。
• エージェントの種類に関する構造的洞察を活用して探索空間を削減し、すべてのエージェント割り当てをブルートフォースで列挙するのを避ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グループ活動選択問題（GASP）は、エージェントの種類数をパrameterとする場合、固定パrameter tractable（FPT）であるか？
• RQ2 同じパrameter化のもとで、単純化された変種であるsGASPのパrameterized複雑性は何か？
• RQ3 gGASPの複雑性はエージェントの種類数をパrameterとする場合に完全に特徴付けられるか？また、GASPやsGASPと比較するとどうなるか？
• RQ4 エージェントの種類数をパrameterとする問題を扱うために、サブセットサムに基づく新規アルゴリズム技法を開発できるか？
• RQ5 これらの問題に対するタイトな下界は何か？また、それらは新しい組合せ的道具（gadget）を用いて確立できるか？

主な発見

• 本論文は、GASPがエージェントの種類数をパrameterとする場合、新規の「木型サブセットサム」定式化を用いて固定パrameter tractable（FPT）であることを確立した。
• sGASPはエージェントの種類数をパrameterとする場合、分割済み多次元サブセットサムの変種を用いたXPアルゴリズムが開発された。
• シドン数列を用いた新しい還元により、sGASPがエージェントの種類数をパrameterとする場合、W[1]-hardであることが証明された。
• 新しい組合せ的道具としての「シドン数列」が、制限付き多次元サブセットサム問題のW[1]-hardnessを示すために用いられ、他の還元においても再利用可能である可能性がある。
• 著者らは、sGASPがエージェント数をパrameterとする場合にFPTであることを示すことで、長年の未解決問題を解決し、複雑性マップを完成させた。
• 開発されたアルゴリズムとハードネス結果により、エージェント、活動、エージェントの種類数というパrameterの組み合わせにおけるGASPの変種のほぼ完全な複雑性マップが得られた。