[論文レビュー] Group algebras and semigroup algebras defined by permutation relations of fixed length

Ferran Cedó, Eric Jespers+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、固定長 l ≥ 2 の置換関係によって定義される群および半群代数を調査する。関係は、Symn の部分群 H による生成元の積の置換を含む。群 G の普遍群が有限指数の自由部分群を持つことを証明し、任意の体 K に対して、K[G] のJacobson根基が冪零であり、特定の条件下で半単純的であることを示す。H がアーベルかつ半正則であるとき、半群代数 K[S] は根基が冪零であり、冪零指数および特徴付き条件における根基の消滅に関する境界が得られる。

ABSTRACT

Let $H$ be a subgroup of $ ext{Sym}_n$, the symmetric group of degree $n$. For a fixed integer $l \geq 2$, the group $G$ presented with generators $x_1, x_2, \ldots ,x_n$ and with relations $x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_l} =x_{\sigma (i_1)} x_{\sigma (i_2)} \cdots x_{\sigma (i_l)}$, where $\sigma$ runs through $H$, is considered. It is shown that $G$ has a free subgroup of finite index. For a field $K$, properties of the algebra $K[G]$ are derived. In particular, the Jacobson radical $\mathcal{J}(K[G])$ is always nilpotent, and in many cases the algebra $K[G]$ is semiprimitive. Results on the growth and the Gelfand-Kirillov dimension of $K[G]$ are given. Further properties of the semigroup $S$ and the semigroup algebra $K[S]$ with the same presentation are obtained, in case $S$ is cancellative. The Jacobson radical is nilpotent in this case as well, and sufficient conditions for the algebra to be semiprimitive are given.

研究の動機と目的

• 固定長 l ≥ 2 の均一な置換関係によって定義される群代数 K[G] および半群代数 K[S] の構造を分析すること。
• Jacobson根基 J(K[G]) および J(K[S]) がいつ冪零になるか、そしていつ消えるかを特定すること。
• K[G] および K[S] が半単純的（すなわち J = 0）である条件を確立すること、特に群 H ⊆ Symn および体の特徴付きとの関係において。
• H が推移的または H がアーベルかつ半正則である場合に、K[G] および K[S] の成長およびGelfand-Kirillov次元を計算すること。

提案手法

• H による作用の軌道分解に基づき、普遍群 G = Gn,l(H) が有限指数の自由部分群を持つことを群論的技法を用いて示す。
• G の正規自由部分群 M を用いた G/M-順序付き構造を K[G] および K[S] に適用する。
• H がアーベルかつ半正則であるとき、K[S] が K[G] の均一的部分環であることを活用し、根基の性質を移転可能とする。
• Lemma 4.2 を用いて、自由モノイドの右可逆部分モノイドが巡回群に含まれることを示し、S の部分モノイド P に対する J(K[P]) の解析に用いる。
• Maschke の定理および群環論を用いて、char(K) = 0 または char(K) ∤ |G/M| のとき J(K[Q]) = 0 を示し、J(K[S]) ≠ 0 であると仮定すると矛盾が生じることを示す。
• 次数の議論および共役作用を用いて、特定の部分モノイドがその分数群内でアーベル的かつ中心的である部分群を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H ⊆ Symn に対して、群代数 K[G] のJacobson根基 J(K[G]) がいつ冪零になるか。
• RQ2 H が推移的かつアーベル的である場合に、群代数 K[G] がいつ半単純的（すなわち J(K[G]) = 0）になるか。
• RQ3 H が推移的であるとき、K[G] のGelfand-Kirillov次元は何か。また、これは古典的Krull次元とどのように関係するか。
• RQ4 H がアーベルかつ半正則であるとき、半群 S = Sn,l(H) の構造は、J(K[S]) の冪零性および消滅にどのように影響するか。
• RQ5 J(K[S]) の冪零指数は有界にできるか。また、G/M はこの境界において果たす役割は何か。

主な発見

• 任意の部分群 H ≤ Symn に対して、群 G = Gn,l(H) は有限指数の自由部分群を持ち、その自由部分群のランクは {1, ..., n} 上の H-軌道の個数に等しい。
• Jacobson根基 J(K[G]) は常に冪零であり、H が推移的であるとき、K[G] はNoetherianなPI代数であり、GKdim(K[G]) = 1 および clKdim(K[G]) = 1 である。
• H がアーベルかつ半正則であるとき、J(K[S]) は指数が |G/M|² 以下の冪零である。ここで M は G の正規自由部分群で有限指数をもつ。
• char(K) = 0 または char(K) = p で p ∤ |G/M| のとき、J(K[S]) = 0 かつ J(K[G]) = 0 であり、K[S] および K[G] は半単純的である。
• H が推移的でない場合、ランク 2 の自由部分群が存在するため、K[G] は指数的成長を示す。
• 半群 S = Sn,l(H) は、H がアーベルかつ半正則であることと同値に、キャンセル可能である。このとき S は G に埋め込まれる。