[論文レビュー] Group analysis of hydrodynamic-type systems

M. B. Sheftel|ArXiv.org|Apr 11, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、時間tまたは空間xに明示的な依存性を示す2成分およびn成分の流体型系において、無限大の流体的対称性が存在するための条件を確立し、非線形偏微分方程式を線形系に還元する線形化変換を導出する。また、無限個の正確解を生成する再帰作用素を導入し、このような系における統合可能性の根本的メカニズムがハミルトニアン形式ではなく、対称性構造であることを示している。

ABSTRACT

We study point and higher symmetries for the hydrodynamic-type systems with two independent variables $t$ and $x$ with and without explicit dependence of the equations on $t,x$. We consider those systems which possess an infinite-dimensional group of the hydrodynamic symmetries, establish existence conditions for this property and, using it, derive linearizing transformations for these systems. The recursion operators for symmetries are obtained and used for constructing infinite series of exact solutions of the studied equations. Higher symmetries, i.e. the Lie-Backlund transformation groups, are also studied and the interrelation between the existence conditions for higher symmetries and recursion operators is established. More complete results are obtained for two-component systems, though $n$-component systems are also studied. In particular, we consider Hamiltonian and semi-Hamiltonian systems.

研究の動機と目的

• 時間tまたは空間xに明示的な依存性を示す流体型系において、無限大の流体的対称性が存在するための条件を特定すること。
• 対称性の不変解を用いて、非線形流体系を線形系に還元する線形化変換を導出すること。
• 初期対称性から無限系列の正確解を生成する再帰作用素を構築すること。
• 統合可能性の群論的基礎を明確にし、対称性構造—ハミルトニアン構造ではなく—が統合可能性の鍵であることを示すこと。
• 理論を2成分およびn成分の対角系、ハミルトニアンおよび準ハミルトニアンの両ケースに拡張すること。

提案手法

• 流体的対称性を、点変換でも接触変換でもない、1階のリー＝バックリンド変換として特定し、線形系の解として定義する。
• 対称性生成子からの不変解を導出し、非線形系を線形系に写像する線形化変換を導出する（例：式6.17–6.20）。
• 対称性に存在条件を課すことにより再帰作用素を構築し、高次の対称性および解の再帰的生成を可能にする。
• 係数行列が特定の曲率に類似た関係（式6.13）を満たし、任意の定数βを含むことにより、無限大の対称性構造を保証する。
• 時間tまたは空間xに明示的な依存性を示す対角系に理論を適用し、対称性生成子の明示的形（式6.15–6.16）とそれに対応する線形化方程式を導出する。
• 対称性群と計量、接続、直交座標系などの微分幾何的構造との間の幾何的対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間tまたは空間xに明示的な依存性を示す流体型系が、無限次元の流体的対称性群を有するための条件は何か？
• RQ2 これらの対称性の不変解から、線形化変換を体系的にどのように導出できるか？
• RQ3 無限個の解の系列を生成する再帰作用素が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ4 多成分流体型系において、高次の対称性と保存則はどのように関係しているか？
• RQ5 流体型系における統合可能性の群論的起源は何か？ハミルトニアン統合可能性と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 時間xに明示的な依存性を示す対角n成分流体型系が、係数が条件(5.12)および任意の実定数βを含む曲率に類似た条件(6.13)を満たす場合、無限大の流体的対称性を有する。
• 線形化変換は明示的に式(6.17)–(6.20)で与えられ、非線形系の解法が任意の滑らかな関数a_i(u)について線形系(6.9)の解法に還元される。
• β ≠ 0の場合、対称性生成子は式(6.15)の形を取り、v_i^{-1}(u,x)の積分の指数関数を含むが、β = 0の場合はtおよびxに関して線形（式6.16）。
• 再帰作用素が存在する場合、対称性を新たな対称性に写像し、1つの線形系の解から無限系列の正確解を生成する。
• このような再帰作用素の存在は、対称性生成方程式の対称性によって完全に決定され、統合可能性の群論的基盤を確認する。
• 本稿は、ハミルトニアン構造ではなく、対称性構造が統合可能性の主因であると結論づける。これは線形化と無限大の解生成を可能にする。