[論文レビュー] Group Analysis of Variable Coefficient Diffusion--Convection Equations. III. Conservation Laws

N. M. Ivanova, Roman O. Popovych+1 more|ArXiv.org|Oct 16, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、通常のおよび拡張された同値群を用いて、変数係数 (1+1) 次元の拡散対流方程式の保存則を分類する一般化されたフレームワークを導入する。拡張同値群 $ frac{G}^\sim$ を用いることで、局所的およびポテンシャル的保存則の閉形式分類が達成され、非自明なポテンシャル的保存則が存在するのは $f = h = 1$ および $ frac{B} = u frac{A}$、または $A = u^{-2}, B = 0$ のような特定の条件下でのみであることが明らかになった。本研究により、同値でない保存則の完全かつ明示的な分類が可能となり、今後のポテンシャル的対称性解析への道筋が開かれる。

ABSTRACT

The notions of generating sets of conservation laws of systems of differential equations with respect to symmetry groups and equivalence groups are introduced and applied. This allows us to generalize essentially the procedure of finding potential symmetries for the systems with multidimensional spaces of conservation laws. A class of variable coefficient (1+1)-dimensional nonlinear diffusion-convection equations of general form $f(x)u_t=(g(x)A(u)u_x)_x+h(x)B(u)u_x$ is investigated. Using the most direct method, we carry out two classifications of local conservation laws up to equivalence relations generated by both usual and enhanced equivalence groups. Equivalence with respect to $\hat G^{\sim}$ and correct choice of gauge coefficients of equations play the major role for simple and clear formulation of the final results. The notion of contractions of conservation laws and one of characteristics of conservation laws are introduced and contractions of conservation laws of diffusion-convection equations are found.

研究の動機と目的

• 対称性および同値群に関して保存則の同値性の一般化されたフレームワークを構築すること。
• 通常および拡張された同値群に関して、変数係数拡散対流方程式の局所的保存則を分類すること。
• 保存則の縮約および保存則の特徴の概念を導入し、適用すること。
• 非自明な第1レベルのポテンシャル的保存則が存在する条件を特定すること。
• 今後のポテンシャル的対称性解析に向けた、ポテンシャル系および保存則の完全な分類を可能とすること。

提案手法

• 対称性および同値群に関して保存則の生成集合の概念を導入する。
• $G^\sim$ および $ frac{G}^\sim$（拡張同値群）の下での同値性に関して、局所的保存則を分類するための最も直接的な手法を適用する。
• $\tilde{t} = t$, $\tilde{x} = \int dx/g(x)$ などのゲージ変換を用いて、一般方程式を $g=1$ となる標準形に簡略化し、分類を容易にする。
• 保存則の縮約および特徴の概念を定義・利用し、異なる保存則間の関係を分析する。
• 補助変数 $v$ が $v_x = u$, $v_t = A u_x + \int B$ を満たすようにポテンシャル系を構築し、関連する保存則を導出する。
• クラスに属する方程式に対して、非自明な第2レベルのポテンシャル的保存則が存在しないことを証明し、ポテンシャル的保存則分類を完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的同値群が暗黙の結果をもたらす場合、どのようにして閉形式かつ明示的な保存則の分類が可能になるか？
• RQ2 拡張同値群 $\hat{G}^\sim$ は、局所的およびポテンシャル的保存則の分類を簡略化するために果たす役割は何か？
• RQ3 変数係数拡散対流方程式に対して、第1レベルの非自明なポテンシャル的保存則が存在するのはどのような条件下か？
• RQ4 保存則の縮約およびその特徴を形式的に定義し、どのように適用できるか？
• RQ5 方程式のクラス $f(x)u_t = (A(u)u_x)_x + h(x)B(u)u_x$ に対して、同値でないポテンシャル的保存則の完全な集合は何か？

主な発見

• 局所的保存則の分類は、任意要素に依存する非局所変換を含む拡張同値群 $\hat{G}^\sim$ を用いる場合にのみ、閉形式で可能である。
• 第1レベルの非自明なポテンシャル的保存則は、$f = h = 1$ および $\int B = u\int A$、または $A = u^{-2}, B = 0$, $f = 1$ や $f = x^{-2}$ のような特定のケースでのみ存在する。
• このクラスに属するすべての方程式に対して、第2レベルの非自明なポテンシャル的保存則は存在しないことが、補題9により証明された。
• $G^\sim_{\rm pr}$-同値でないポテンシャル的保存則の完全な集合は、正確に4つの同値でないケースから構成され、それぞれ明示的な保存則の形と関連するポテンシャル系を有する。
• ゲージ同値変換および係数の適切なゲージ固定は、最終的な分類結果を明確かつ簡潔に表現するために不可欠である。
• 本フレームワークにより、同値でないすべてのポテンシャル系および保存則を体系的に特定するアプローチが可能となり、今後の研究におけるポテンシャル的対称性の計算の基盤が築かれる。