[論文レビュー] Group C*-algebras without the completely bounded approximation property

Uffe Haagerup|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 55

ひとこと要約

本稿は、中心が有限な実ランク2以上の単純リー群 $G$ のフーリエ代数 $A(G)$ が乗算子有界近似単位を持たないことを証明し、このような群における任意の格子 $\Gamma$ の滑らかでない $C^*$-代数 $C^*_r(\Gamma)$ が完全有界近似性質（CBAP）を持たないことを示している。これらの結果は、ランク1群に関する先行研究を拡張し、完全有界近似性質が高ランク単純リー群へ一般化されないことを示しており、作用素代数と調和解析における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

It is proved that: (1) The Fourier algebra A(G) of a simple Lie group G of real rank at least 2 with finite center does not have a multiplier bounded approximate unit. (2) The reduced C*-algebra of any lattice in a non-compact simple Lie group of real rank at least 2 with finite center does not have the completely bounded approximation property. Hence, the results obtained by J. de Canniere and the author for SO(n,1), n at least 2, and by M. Cowling for SU(n,1) do not generalize to simple Lie groups of real rank at least 2.

研究の動機と目的

• 実ランク $\geq 2$ で中心が有限な単純リー群 $G$ のフーリエ代数 $A(G)$ が乗算子有界近似単位をもつかどうかを特定すること。
• このような群における格子 $\Gamma$ の滑らかでない $C^*$-代数 $C^*_r(\Gamma)$ が完全有界近似性質（CBAP）をもつかどうかを調査すること。
• $\operatorname{SO}_e(n,1)$ および $\operatorname{SU}(n,1)$ についての de Cannière と Haagerup の結果、および Cowling の結果を、ランク1群に適用した先行研究を高ランク群へ一般化すること。
• 作用素論的技法を用いて、フーリエ代数上の完全有界乗算子の特徴づけを確立すること。
• 高ランク単純リー群における格子の滑らかでない群 $C^*$-代数が完全有界近似性質をもつかどうかという問題を解決すること。

提案手法

• 単純リー群が中心を有限にもつ実ランク $\geq 2$ をもつ場合、Kazhdanの性質(T)および局所同型性の性質を用いて、問題を $\operatorname{SL}(3,\mathbb{R})$ および $\operatorname{Sp}(2,\mathbb{R})$ に還元する。
• 双対性を用いて、$G$ における $A(G)$ の乗算子有界近似単位の存在と、$\Gamma$ における $C^*_r(\Gamma)$ の CBAP の等価性を示す。この双対性は、群のフォン・ノイマン代数と関連している。
• ヒルベルト空間値関数 $\xi, \eta: G \to H$ に対して、$\sup_x \|\xi(x)\|, \|\eta(x)\| < \infty$ かつ局所可算性を満たすものによる完全有界乗算子の特徴づけを用いる。
• 関数 $\Phi$ を $\Phi(s) = \sum_i b_i^* s a_i$ で定義し、$a_i = m(\widehat{\xi}_i)$, $b_i = m(\widehat{\eta}_i)$ とする。このとき $\|\Phi\|_{CB} \leq k$ を示す。
• $\Phi(\lambda(x)) = \varphi(x)\lambda(x)$ を用いて、$\varphi \in M_0A(G)$ かつ $\|\varphi\|_{M_0A} \leq k$ であることを示し、乗算子ノルムと作用素ノルムの関係を確立する。
• 群のフォン・ノイマン代数 $\mathfrak{M}(G)$ との双対性に依拠し、$A(G)$ が乗算子有界近似単位をもつことと $\mathfrak{M}(G)$ が $\sigma$-弱完全有界近似性質をもつことが同値であることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実ランク2以上の単純リー群 $G$ で中心が有限な場合、そのフーリエ代数 $A(G)$ は乗算子有界近似単位をもつのか？
• RQ2 このような群における格子 $\Gamma$ の滑らかでない $C^*$-代数 $C^*_r(\Gamma)$ は完全有界近似性質（CBAP）をもつのか？
• RQ3 de Cannière と Haagerup が $\operatorname{SO}_e(n,1)$ に対して示した結果、および Cowling が $\operatorname{SU}(n,1)$ に対して示した結果は、高ランク単純リー群へ一般化可能か？
• RQ4 局所可算性と一様有界性を満たすヒルベルト空間値関数 $\xi, \eta: G \to H$ を用いた $A(G)$ 上の完全有界乗算子の特徴づけは存在するか？
• RQ5 格子 $\Gamma \subset G$ に対して、$A(G)$ に乗算子有界近似単位が存在することと $C^*_r(\Gamma)$ が CBAP をもつことの関係は何か？

主な発見

• 実ランク2以上の単純リー群 $G$ で中心が有限な場合、そのフーリエ代数 $A(G)$ は乗算子有界近似単位をもたない。
• このような群における任意の格子 $\Gamma$ の滑らかでない $C^*_r(\Gamma)$ は完全有界近似性質（CBAP）をもたない。
• $\operatorname{SO}_e(n,1)$ および $\operatorname{SU}(n,1)$ に関する結果は、高ランク単純リー群へ一般化されない。
• $A(G)$ に乗算子有界近似単位が存在することは、$G$ に含まれる格子 $\Gamma$ に対して $C^*_r(\Gamma)$ が CBAP をもつことと同値であり、高ランク群ではこの同値性が成立しない。
• ヒルベルト空間値関数 $\xi, \eta: G \to H$ に対して $\sup_x \|\xi(x)\|, \|\eta(x)\| < \infty$ かつ局所可算性を満たすものによる完全有界乗算子の特徴づけが、このような近似単位の非存在を示すために用いられている。
• 有限中心条件は、乗算子有界近似単位の非存在に不要であることが後に Dorofaeff によって示されたが、元の結果はこの仮定のもとで成立している。