[論文レビュー] Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix. III. Triangular diffusion matrix

A. Nikitin|ArXiv.org|Feb 25, 2005

Differential Equations and Numerical Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般の拡散行列を有する2成分非線形反応拡散系の群分類を完了する。特に、三角行列型拡散行列を完全に分類し、零化拡散および追加の1次微分項を含む場合を含む。リーの無限小法を用いて、すべての同値でない方程式とその対称代数を同定し、300以上もの同値でない系を特定。また、特定の状況下で、ガリレオ変換、共形変換、拡大不変性を含む拡張された対称性を同定する。

ABSTRACT

Group classification of systems of two coupled nonlinear reaction-diffusion equation with a general diffusion matrix started in papers math-ph/0411027,, math-ph/0411028 is completed in present paper where all non-equivalent equations with triangular diffusion matrix are classified. In addition, symmetries of diffusion systems with nilpotent diffusion matrix and additional first order derivative terms are described.

研究の動機と目的

• 一般の拡散行列を有するカップリング非線形反応拡散系の群分類を完了すること。特に、これまで分類がなされていなかった三角行列型拡散行列のケースに焦点を当てる。
• 実定数 $ a $ に対して、$ u_t - a\Delta u = f^1(u,v), \ v_t - \Delta u - a\Delta v = f^2(u,v) $ の形をしたすべての同値でない系を分類すること。零化拡散の場合 $ a = 0 $ も含む。
• すべてのこのような系に対して、完全な対称生成子とその代数を特定すること。拡張された対称性および同値変換を含む。
• ガリレオ変換、共形変換、拡大不変性に対して不変となる系を特定すること。特に、拡張されたガリレーグループを許容する唯一の系を同定すること。

提案手法

• 三角行列型拡散行列を有する系の対称生成子の決定方程式を導出するために、リーの無限小法を適用する。
• 独立変数および従属変数の線形変換を用いて、一般形を標準形に簡略化する。1次微分項を含む場合も含む。
• 決定方程式を解いて、任意定数および $ t $ と $ x $ の関数で表される対称生成子の一般形を構成する。
• 関数 $ f^1(u,v) $ および $ f^2(u,v) $ の関数的形に基づいて系を分類し、同値変換および対称性の拡張を用いて同値でないケースを同定する。
• 行列記法およびクロネッカーのデルタを用いて、決定方程式系を簡略化し、対称代数の構造を分析する。
• 結果の妥当性を検証するため、導出された対称生成子が決定方程式を満たすことを確認し、既知の不変系（例：ガリレオ不変系）と照合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角行列型拡散行列を有する2つの結合非線形反応拡散方程式の同値でないすべての系は何か。それらはどのような対称性を許容するか。
• RQ2 零化拡散行列（$ a = 0 $）を有する系の対称性は、可逆な三角行列型行列（$ a \neq 0 $）を有する系のそれとどのように異なるか。
• RQ3 ガリレオ変換、共形変換、または拡大不変性に対して不変となる系はどれか。$ f^1 $ および $ f^2 $ の関数的形はどのようなものが必要か。
• RQ4 1次微分項を $ v $-方程式に含む系の分類において、同値変換の役割は何か。
• RQ5 拡張されたガリレーグループを許容する唯一の系は存在するか。その関数的構造は何か。

主な発見

• 可逆な三角行列型拡散行列（$ a \neq 0 $）を有する54個の同値でない系を同定。表2～6に完全に分類済み。
• 零化拡散行列（$ a = 0 $）を有する68個の同値でない系を分類。表8～10に記載され、一部は表2～3にも含まれる。
• $ v $-方程式に1次微分項を含む方程式の組み合わせとして、合計14のクラスを同定。詳細は表7に記載。
• 拡張されたガリレーグループ（拡大および共形変換を含む）を許容する唯一の系は、$ u_t - a\Delta u = uF_1 $, $ v_t - \Delta u - a\Delta v = uF_2 - vF_1 $ で与えられ、$ F_1 $ および $ F_2 $ は $ \xi = u e^{v/u} $ の関数である。式 (44) に記載。
• 7つの系がガリレオ変換に対して不変であり、一般形は式 (50) で与えられる。その対称性拡張は表4および表6に完全に特徴づけられている。
• 本稿は、このような系の群分類が300以上もの同値でない方程式を生じることを確認し、対称性構造の複雑さと豊かさを示している。