[論文レビュー] Group Fourier transform and the phase space path integral for finite dimensional Lie groups

Matti Raasakka|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限次元リー群に対する群フーリエ変換を導入し、関数を非可換な運動量に似た変数の双対空間へユニタリ写像することを可能にする。非可換スター積から生じる量子補正付きハミルトニアンを有する、量子力学における1次元位相空間経路積分を導出する。これは、量子重力モデルにおける表現論や特殊関数に依存しない物理的に直感的な代替手法を提供する。

ABSTRACT

We formulate a notion of group Fourier transform for a finite dimensional Lie group. The transform provides a unitary map from square integrable functions on the group to square integrable functions on a non-commutative dual space. We then derive the first order phase space path integral for quantum mechanics on the group by using a non-commutative dual space representation obtained through the transform. Possible advantages of the formalism include: (1) The transform provides an alternative to the spectral decomposition via representation theory of Lie groups and the use of special functions. (2) The non-commutative dual variables are physically more intuitive, since despite the non-commutativity they are analogous to the corresponding classical variables. The work is expected, among other possible applications, to allow for the metric representation of Lorentzian spin foam models in the context of quantum gravity.

研究の動機と目的

• SO(3) や SU(2) を超えて、任意の有限次元リー群へ群フーリエ変換を一般化すること。
• 表現論や特殊関数に依存しない、リー群上での量子力学の非可換双対空間表現を提供すること。
• 双対変数を用いた、シュレーディンガー方程式と整合性を持つ1次元位相空間経路積分の定式化を導出すること。
• 特に4次元量子重力におけるローレンツ型スピンフォームモデルを含む、量子重力モデルの計量表現を可能にすること。
• 特殊関数の代わりに幾何的に直感的な非可換変数を用いることで、量子系の半古典的解析を簡略化すること。

提案手法

• 余接 bundle $ \mathcal{G} \times \mathfrak{g}^* $ 上に非可換平面波 $ E_g(X) $ を定義し、$ \delta_e(g) = \int_{\mathfrak{g}^*} \frac{dX}{(2\pi)^d} E_g(X) $ を満たす。
• 関数 $ \mathfrak{g}^* $ 上に $ E_g(X) \star E_h(X) = E_{gh}(X) $ を満たすスター積 $ \star $ を導入し、群構造を反映させる。
• 群フーリエ変換 $ \tilde{\phi}(X) = \int_{\mathcal{G}} dg \, E_{g^{-1}}(X) \phi(g) $ を定義し、$ L^2(\mathcal{G}) $ から $ L^2_\star(\mathfrak{g}^*, dX) $ への写像を実現する。
• 条件 $ E_{g^{-1}}(X) = \overline{E_g(X)} $ の下で変換のユニタリ性を確立し、等長写像を保証する。
• 離散化された時間発展を用いて位相空間経路積分を構成し、$ \langle g_{k+1} | X_k \rangle \star \langle X_k | e^{-i\epsilon \hat{H}} | g_k \rangle $ を用いる。ここで $ \hat{H} $ は $ H_\star(g,X) $ により表現される。
• 連続極限を取ることで、経路積分 $ \langle g',t' | g,t \rangle = \int \mathcal{D}g \mathcal{D}X \, \exp\left\{ i \int_t^{t'} dt \, L_q(g,X) \right\} $ を得る。ここで量子補正付きラグランジアンは $ L_q = V \cdot X - H_q(g,X) $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限次元リー群に対して、SO(3) や SU(2) の既存の研究を一般化して、一貫性を持つユニタリ群フーリエ変換をどのように定義できるか。
• RQ2 非可換双対空間 $ \mathfrak{g}^* $ の構造は何か。また、それが物理的に直感的な位相空間定式化をどのように支えるか。
• RQ3 群フーリエ変換とスター積形式論を用いて、リー群上での1次元位相空間経路積分をどのように導出できるか。
• RQ4 双対空間における非可換性から生じる、古典的ハミルトニアンおよびラグランジアンの量子補正項は何か。
• RQ5 この形式論は、ローレンツ型スピンフォームのような量子重力モデルの半古典的解析および幾何的解釈を簡略化できるか。

主な発見

• 群フーリエ変換は $ L^2(\mathcal{G}) $ と $ L^2_\star(\mathfrak{g}^*, dX) $ の間のユニタリ同型写像を提供し、スター積が群構造を符号化している。
• 逆変換は $ \phi(g) = \int_{\mathfrak{g}^*} \frac{dX}{(2\pi)^d} \, E_g(X) \star \tilde{\phi}(X) $ で与えられ、完全性と等長性が保証される。
• 位相空間経路積分は $ \langle g',t' | g,t \rangle = \lim_{\epsilon \to 0, N \to \infty} \prod_{k=0}^{N-1} \int_{\mathcal{G}} dg_k \int_{\mathfrak{g}^*} \frac{dX_k}{(2\pi)^d} \, \exp\left\{ i \sum_{k=0}^{N-1} \epsilon \left( \frac{1}{\epsilon} Z(g_k^{-1}g_{k+1}) \cdot X_k - H_q(g_k,X_k) \right) \right\} $ として導出される。
• 量子補正付きハミルトニアン $ H_q(g,X) = \omega^{-1}(-i\partial_X^i) H_\star(g,X) $ により、経路積分がシュレーディンガー方程式を満たすことが保証される。
• 連続極限において、経路積分は $ \int \mathcal{D}g \mathcal{D}X \, \exp\left\{ i \int_t^{t'} dt \, (V \cdot X - H_q(g,X)) \right\} $ の形を取り、$ V^i(t) = \lim_{\epsilon \to 0} Z^i(g^{-1}(t)g(t+\epsilon))/\epsilon $ である。
• 群 $ \mathcal{G} = \mathbb{R}^d $ の場合、形式論は標準的な1次元経路積分を再現し、一貫性が検証される。