[論文レビュー] Group homomorphisms as error correcting codes

Alan Guo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Coding theory and cryptography被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、有限群 G から有限群 H への群準同型からなる誤り訂正符号の最大一致度（ハミング距離の補完的量）の一般式を確立する。G が可解群であるか、H が冪指数群である場合、最大一致度 ΛG,H は |G| と |H| の素因数および G の正規部分群構造にのみ依存し、H の部分群構造には依存しない。主な結果は、|H| を割る G の正規部分群の最小指数を用いた ΛG,H の閉形式の公式である。

ABSTRACT

We investigate the minimum distance of the error correcting code formed by the homomorphisms between two finite groups $G$ and $H$. We prove some general structural results on how the distance behaves with respect to natural group operations, such as passing to subgroups and quotients, and taking products. Our main result is a general formula for the distance when $G$ is solvable or $H$ is nilpotent, in terms of the normal subgroup structure of $G$ as well as the prime divisors of $|G|$ and $|H|$. In particular, we show that in the above case, the distance is independent of the subgroup structure of $H$. We complement this by showing that, in general, the distance depends on the subgroup structure $G$.

研究の動機と目的

• 有限群 G と H 間の群準同型からなる誤り訂正符号の最小距離（最大一致度を用いて）を特定すること。
• 非アーベル群準同型のリスト復号において、極めて重要かつ非自明な技術的課題であるこの距離の計算を解決すること。
• コードの距離が G の正規部分群構造と H との共通素因数にのみ依存し、H の部分群詳細に依存しないような構造的条件を同定すること。
• 非アーベル単純群（例：A5）の場合、距離が G の H への埋め込み方（単なる素因数や G の正規部分群構造ではなく）に依存することを示すこと。

提案手法

• 2つの準同型の間の一致度 agr(φ, ψ) を、それらが一致する群元の割合として定義し、すべての異なるペアにおける最大一致度 ΛG,H を考察する。
• 2つの準同型の等化子 Eq(φ, ψ) が G の正規部分群であることを証明し、群同型定理を用いて等化子のサイズと準同型の核の関係を関係づける。
• H が p-群である場合、任意のアフィン準同型の集合の等化子の指数が p のべきであることを示し、これにより ΛG,H ≤ 1/p という上界を得る。
• 可解群および冪指数群の構造を用いて、PG,H（|G| と |H| の共通素因数の集合）および NG（G の真の正規部分群の指数の集合）を用いた ΛG,H の公式を導出する。
• G が可解群であるか H が冪指数群である場合、PG,H ∩ NG が空でない限り ΛG,H = 1 / min(PG,H ∩ NG)、そうでなければ 0 であることを証明する。
• 非アーベル単純群（例：An）のケースを、自己同型と固定点集合を調べることで分析し、バーンサイドの補題を用いて最大一致度を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G が可解群または H が冪指数群であるとき、G から H へのすべての群準同型からなる誤り訂正符号の最小距離（最大一致度）は何か？
• RQ2 最大一致度 ΛG,H は |G| と |H| の素因数および G の正規部分群構造にのみ依存するのか、それとも H の部分群構造にも依存するのか？
• RQ3 非アーベル単純群（例：An）に対して、一般の ΛG,H の公式を導出可能か？また、可解群の場合とはどのように異なるか？
• RQ4 可解群 G に対して成り立つ公式が、非アーベル単純群ではなぜ成立しないのか。このような場合、H のどのような構造的特徴が ΛG,H に影響を与えるか？
• RQ5 G が H に埋め込まれ方（例：部分群として、または自己同型を介して）が、最大一致度 ΛG,H にどのように影響するか？

主な発見

• G が可解群であるか H が冪指数群である場合、G と H が共通素因数を持たない限り ΛG,H = 0 であり、そうでなければ ΛG,H = 1 / min(PG,H ∩ NG) である。ここで PG,H は |G| と |H| の共通素因数の集合、NG は G の真の正規部分群の指数の集合である。
• G = A5 かつ H = A5 の場合、最大一致度は正確に 1/10 であり、これは A4 に同型な部分群で一致する2つの異なる自己同型によって達成される。
• H = A6 かつ G = A5 の場合、最大一致度は 1/5 に増加し、ΛG,H が |G| と |H| のみではなく、G が H にどのように埋め込まれるかに依存することを示している。
• 公式 ΛG,H は一般の有限群に拡張できないことが、A5 のような非アーベル単純群における反例によって示された。
• n ≥ 5 の交代群 An に対しては、2/(n(n−1)) ≤ ΛAn,An ≤ 1/n が成り立ち、n = 5 のとき下界で等号が成立する。
• 任意の群 G と p-群 H に対して、最大一致度は 1/p で上界が与えられ、コードの距離が群の p-群構造によって制限されることを示している。