[論文レビュー] Group-like elements in quantum groups, and Feigin's conjecture

Arkady Berenstein|ArXiv.org|May 12, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、Kac-Moody代数の冪零部分代数の完成化量子包あくり代数における群的要素を構成し、ユニポテンツ群の量子座標環から歪多項式代数への評価写像の量子変形を確立する。主な結果は、評価準同型の像が歪体の分数体を生成するための必要十分条件が、インデックス列がWeyl群における既約語であることであることを示しており、核は対応するWeyl群元にのみ依存する。これはFeiginの予想をKac-Moody代数へ一般化するものである。

ABSTRACT

Let $A$ be an arbitrary symmetrizable Cartan matrix of rank $r$, and ${\bf n}={\bf n_+}$ be the standard maximal nilpotent subalgebra in the Kac-Moody algebra associated with $A$ (thus, ${\bf n}$ is generated by $E_1,\ldots,E_r$ subject to the Serre relations). Let $\hat U_q({\bf n})$ be the completion (with respect to the natural grading) of the quantized enveloping algebra of ${\bf n}$. For a sequence ${\bf i}=(i_1,\ldots,i_m)$ with $1\le i_k\le r$, let $P_{\bf i}$ be a skew polynomial algebra generated by $t_1,\ldots,t_m$ subject to the relations $t_lt_k=q^{C_{i_k,i_l}}t_kt_l$ ($1\le k

研究の動機と目的

• 量子群からKac-Moody代数の設定へFeiginの予想を一般化すること。
• 歪多項式代数と冪零部分代数の完成化量子包あくり代数のテンソル積における群的要素の構成。
• 評価準同型の像が歪多項式代数の歪体の分数体を生成する条件の特定。
• 評価写像の核が、同じWeyl群元に対応する既約語の具体的な表現に依存せず、そのWeyl群元にのみ依存することの証明。
• 同じWeyl群元に対応する異なる既約語の関連する量子指数関数の間のq-変形された同型写像の構成。

提案手法

• 対称Cartan行列$ C $を用いて、生成元$ t_1, \dots, t_m $と関係$ t_l t_k = q^{C_{i_k,i_l}} t_k t_l $（$ k < l $）を持つ歪多項式代数$ P_{\bf i} $を定義する。
• 古典的指数関数写像$ \pi_{\mathbf{i}}: \mathbb{C}^m \to N $（$ N $はユニポテンツ群）を変形する群的要素$ \mathbf{e}_{\mathbf{i}} \in P_{\mathbf{i}} \otimes \hat{U}_q(\mathfrak{n}) $を構成する。
• 評価準同型$ \psi_{\mathbf{i}}: \mathbf{C}_q[N] \to P_{\mathbf{i}} $を$ \psi_{\mathbf{i}}(x) = x(\mathbf{e}_{\mathbf{i}}) $で定義し、$ \mathbf{C}_q[N] $と$ U_q(\mathfrak{n}) $の標準的同型のもとでFeiginの準同型$ \Phi(\mathbf{i}) $と同一視する。
• $ \psi_{\mathbf{i}} $が歪体の分数体$ \mathcal{F}(P_{\mathbf{i}}) $を生成するための必要十分条件が、$ \mathbf{i} $がWeyl群$ W $のある元$ w $の既約語であることであることを証明する。
• $ \mathbf{e}_{\mathbf{i}} $に特殊化する$ \mathcal{R}_w \in (\mathbf{C}_q[N]/I_w) \otimes \hat{U}_q(\mathfrak{n}) $を構成し、Lusztigの擬R行列と関連付ける。
• $ \mathbf{i}, \mathbf{i}' $が同じ$ w \in W $の既約語であるとき、$ \mathcal{F}(P_{\mathbf{i}}) \to \mathcal{F}(P_{\mathbf{i}'}) $の同型写像$ \mathbf{R}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{i}'} $を定義し、$ (\mathbf{R}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{i}'} \otimes \mathrm{id})(\mathbf{e}_{\mathbf{i}}) = \mathbf{e}_{\mathbf{i}'} $を満たすことを示し、これがLusztigの遷移写像のq-変形であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 評価準同型$ \psi_{\mathbf{i}}: \mathbf{C}_q[N] \to P_{\mathbf{i}} $の像が歪体の分数体$ \mathcal{F}(P_{\mathbf{i}}) $を生成するのはいつか？
• RQ2 核$ \ker \psi_{\mathbf{i}} $は、特に$ \mathbf{i} $がWeyl群元$ w $の既約語であるとき、列$ \mathbf{i} $の選択にどのように依存するか？
• RQ3 $ \mathbf{e}_{\mathbf{i}} \in P_{\mathbf{i}} \otimes \hat{U}_q(\mathfrak{n}) $という群的要素と量子R行列、またはLusztigの遷移写像との関係は何か？
• RQ4 同じWeyl群元の既約語に関連する異なる量子指数関数の間の移行は、歪体の分数体のq-変形された同型写像として記述可能か？
• RQ5 歪多項式代数$ P_{\mathbf{i}} $およびその歪体の分数体は、Weyl群における既約語の表現理論と組合せ論とどのように関係するか？

主な発見

• 評価準同型$ \psi_{\mathbf{i}} $が歪体の分数体$ \mathcal{F}(P_{\mathbf{i}}) $を生成するための必要十分条件は、列$ \mathbf{i} $がWeyl群$ W $のある元$ w $の既約語であることである。
• 核$ I_w := \ker \psi_{\mathbf{i}} $はWeyl群元$ w $にのみ依存し、具体的な既約語$ \mathbf{i} $には依存しないため、$ \mathbf{C}_q[N] $における両側イデアルとしてwell-definedである。
• $ \mathbf{e}_{\mathbf{i}} $に特殊化する群的要素$ \mathcal{R}_w \in (\mathbf{C}_q[N]/I_w) \otimes \hat{U}_q(\mathfrak{n}) $を構成し、自然な埋め込みのもとで$ P_{\mathbf{i}} \otimes \hat{U}_q(\mathfrak{n}) $への埋め込みにおいて$ \mathbf{e}_{\mathbf{i}} $に特殊化され、Lusztigの擬R行列と密接に関係している。
• $ W $の同じ元$ w $の2つの既約語$ \mathbf{i}, \mathbf{i}' $に対して、$ \mathcal{F}(P_{\mathbf{i}}) \to \mathcal{F}(P_{\mathbf{i}'}) $の自然な同型写像$ \mathbf{R}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{i}'} $が存在し、$ (\mathbf{R}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{i}'} \otimes \mathrm{id})(\mathbf{e}_{\mathbf{i}}) = \mathbf{e}_{\mathbf{i}'} $を満たす。この同型写像はLusztigの遷移写像のq-変形を提供する。
• このような同型写像の存在により、量子指数関数間の新しい恒等式が得られ、また、既約語に関連する歪対称行列に関する驚くべき組合せ論的結果が得られ、[12]の結果を一般化する。
• 歪多項式代数$ P_{\mathbf{i}} $は右Ore条件を満たし、したがって歪体の分数体を備える。これにより、$ \mathcal{F}(P_{\mathbf{i}}) $の構成の代数的枠組みが適切に整っている。