[論文レビュー] Group Operads and Homotopy Theory

Wen-Bin Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、可換図式の文脈における群の一般化としての群のオペラッドを導入し、古典的ホモトピー論的構成を統一的かつ拡張的に扱う。トポロジカルオペラッドの基本群は群のオペラッドであることが示され、高次のホモトピー群はこのオペラッドによる作用を持つ。これにより、被覆オペラッドの理論が構築され、$K(\pi,1)$ オペラッドはその基本群オペラッドから再構成可能となる。主な貢献は、標準的安定化 $ abla^2\Sigma^2X \hookrightarrow \Omega^\infty\Sigma^\infty X$ のホモトピー纤维に対する自由群モデルの構成であり、対称群オペラッドおよびブraid群オペラッドを用いて実現される。

ABSTRACT

We introduce the classical theory of the interplay between group theory and topology into the context of operads and explore some applications to homotopy theory. We first propose a notion of a group operad and then develop a theory of group operads, extending the classical theories of groups, spaces with actions of groups, covering spaces and classifying spaces of groups. In particular, the fundamental groups of a topological operad is naturally a group operad and its higher homotopy groups are naturally operads with actions of its fundamental groups operad, and a topological $K(π,1)$ operad is characterized by and can be reconstructed from its fundamental groups operad. Two most important examples of group operads are the symmetric groups operad and the braid groups operad which provide group models for $Ω^{\infty} Σ^{\infty} X$ (due to Barratt and Eccles) and $Ω^2 Σ^2 X$ (due to Fiedorowicz) respectively. We combine the two models together to produce a free group model for the canonical stabilization $Ω^2 Σ^2 X \hookrightarrow Ω^{\infty} Σ^{\infty} X$, in particular a free group model for its homotopy fibre.

研究の動機と目的

• 群のオペラッドの一般理論を構築し、群と位相空間の双対性をオペラッドへ拡張する。
• 被覆空間論を被覆オペラッドへ一般化し、群のオペラッドと $K(\pi,1)$ オペラッドを関連付ける。
• 群のオペラッドを用いて、$\Omega^\infty\Sigma^\infty X$ や $\Omega^2\Sigma^2X$ のような標準的ホモトピー論的対象の代数的モデルを構成する。
• 安定化写像 $\Omega^2\Sigma^2X \to \Omega^\infty\Sigma^\infty X$ のホモトピー纤维に対する自由群モデルを提供する。

提案手法

• 群のオペラッドを、各 $G_n$ に群構造を持つオペラッド $\mathscr{G} = \{G_n\}_{n \geq 0}$ として定義し、対称群オペラッド $\mathscr{S}$ への準同型と、交差ホモロジー条件を満たす合成写像を持つものとする。
• トポロジカルオペラッドの基本群が自然に群のオペラッドをなすこと、および高次のホモトピー群がこの基本群オペラッドによる作用を持つことを示す。
• 群のオペラッド $\mathscr{G}$ の分類的オペラッドを、その基本群オペラッドが $\mathscr{G}$ となるようなトポロジカル $K(\pi,1)$ オペラッドとして構成する。
• ホモトピー群 $\Omega^\infty\Sigma^\infty X$ のためのBarratt-Ecclesモデル ($\mathscr{S}X$) と $\Omega^2\Sigma^2X$ のためのFiedorowiczモデル ($\mathscr{B}X$) を用い、写像 $U\pi: U\mathscr{B}X \to U\mathscr{S}X$ を構成する。
• $\mathscr{S}X$ のオペラッド的フィルトレーションの逆像を用いて $\mathscr{B}X$ にフィルトレーションを定義し、$\Omega^2\Sigma^2X$ の新たなフィルトレーションを導出する。
• 反射写像やべき写像を含む、ブraid群間の群準同型を用いて $\Omega^2\Sigma^2X$ の自己写像を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群論と位相の間の関係が、空間からオペラッドへ一般化可能か、一貫した群のオペラッドという概念によって統一できるか？
• RQ2 トポロジカルオペラッドのホモトピー群がどのようにオペラッド構造を引き継ぎ、基本群が果たす役割は何か？
• RQ3 被覆空間論はオペラッドへ拡張可能か？また、$K(\pi,1)$ オペラッドはその基本群オペラッドから再構成可能か？
• RQ4 安定化写像 $\Omega^2\Sigma^2X \to \Omega^\infty\Sigma^\infty X$ は群のオペラッドを用いて代数的にモデル化可能か？そのホモトピー纤维の構造は何か？
• RQ5 $\Omega^2\Sigma^2X$ の自己写像（例えば次数 $k$ およびべき $k$ の写像）は、ブraid群オペラッド内の群準同型としてどのように表現できるか？

主な発見

• トポロジカルオペラッドの基本群は自然に群のオペラッドをなし、高次のホモトピー群はこの基本群オペラッドによる作用を持つオペラッドである。
• トポロジカル $K(\pi,1)$ オペラッドは特徴づけられ、その基本群オペラッドから再構成可能であり、古典的 $K(\pi,1)$ 空間論を一般化する。
• 対称群オペラッド $\mathscr{S}$ とブraid群オペラッド $\mathscr{B}$ は、それぞれ $\Omega^\infty\Sigma^\infty X$ および $\Omega^2\Sigma^2X$ の代数的モデルを提供する。
• 安定化写像 $\Omega^2\Sigma^2X \hookrightarrow \Omega^\infty\Sigma^\infty X$ のホモトピー纤维に対する自由群モデルが、写像 $U\pi: U\mathscr{B}X \to U\mathscr{S}X$ を用いて構成され、その纤维は自由群である。
• 次数 $k$ およびべき $k$ の写像を含む $\Omega^2\Sigma^2X$ の自己写像は、反射やスケーリング写像を含む特定のブraid群間の群準同型として表現可能である。
• $\mathscr{S}X$ のオペラッド的フィルトレーションおよびその $\mathscr{B}X$ における逆像は、$\Omega^2\Sigma^2X$ の新たな標準的フィルトレーションをもたらし、空間の構造的洞察を提供する。