[論文レビュー] Group structures of a function spaces with the set-open topology

Alexander V. Osipov|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Tychonoff空間 $ X $ から $ \mathbb{R}^\alpha $ への連続関数の空間 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ が、$ \lambda $-開位相を備えたとき、それが半位相群、準位相群、位相群、または位相線型空間となる条件を調査する。主な結果は、$ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ が位相線型空間（したがって位相群）であるための必要十分条件が、$ \lambda $ が $ C_\alpha $-コンパクト集合の族であり、かつ $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $ を満たすことであると特定する。重要な反例により、$ \alpha = \omega_1 $ のときその条件が満たされない場合、群構造が成立しないことが示される。

ABSTRACT

In this paper, we find at the properties of the family lambda which imply that the function space C(X,R^alpha) with the lambda-open topology is a semitopological group (paratopological group, topological group, topological vector space and other algebraic structures) under the usual operations of addition and multiplication (and multiplication by scalars).

研究の動機と目的

• Tychonoff空間 $ X $ の部分集合族 $ \lambda $ に対して、$ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ が $ \lambda $-開位相を備えるとき、その空間が位相群または線型空間構造をもつための条件を同定すること。
• 実数値関数空間に関する先行結果を、$ \mathbb{R}^\alpha $-値関数へ一般化するにあたり、$ C_\alpha $-コンパクト性を用いること。
• $ \lambda(C_\alpha) $、$ \lambda_m $、および関数的精緻化や飽和族といった構造的性質が、$ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ の代数的・位相的性質を決定する役割を明確にすること。
• 反例による明確な二分岐を提示する：$ X = [0,\omega_1) $ のとき、$ C_\lambda(X,\mathbb{R}^\omega) $ は位相線型空間であるが、$ C_\lambda(X,\mathbb{R}^{\omega_1}) $ は半位相群ですら成立しない。

提案手法

• 関数 $ f: X \to \mathbb{R}^\alpha $ が連続であるとき、$ f(A) $ が $ \mathbb{R}^\alpha $ 内でコンパクトであるような $ A \subseteq X $ を $ C_\alpha $-コンパクト集合と定義する。
• $ \lambda(C_\alpha) $ を、任意の $ C_\alpha $-コンパクト集合 $ B \subset A $ と任意の開集合 $ U \subseteq \mathbb{R}^\alpha $ に対して、$ [B,U] $ が $ C_\lambda(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 内で開であるような $ A \in \lambda $ の族として定義する。
• 関数空間の位相が変わらない最大の族 $ \lambda_m $ を導入し、$ C_\lambda(X,\mathbb{R}^\alpha) = C_{\lambda_m}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ が成り立つことの証明を行い、$ \lambda_m $ が位相を決定することを示す。
• 関数的精緻化と飽和族の概念を用いて、$ C_\lambda(X,\mathbb{R}^\alpha) $ が連続な群演算をもつための条件を特徴づける。
• 位相 $ \lambda $ 上での一様収束の位相、すなわち $ \mathcal{U}|\lambda $ を用いて、$ \lambda $-開位相と一様構造との関係を確立する。
• 関数空間が位相群をなすための必要十分条件が $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $ であることの同値性を、$ \lambda $ が $ C_\alpha $-コンパクト集合の族であるという仮定の下で確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数空間 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ が点和とスカラー乗法に関して位相群となるための、$ X $ の部分集合族 $ \lambda $ の条件は何か？
• RQ2 $ \lambda $-開位相が $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ に位相線型空間または位相代数の構造をもたらすのはいつか？
• RQ3 $ \lambda(C_\alpha) $ は、$ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ が半位相群または準位相群であるかどうかを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 $ X = [0,\omega_1) $ のような $ X $ の性質が、異なる $ \alpha $ に対して $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ の群構造に与える影響は何か？
• RQ5 なぜ $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\omega) $ は位相線型空間であるのに対し、$ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^{\omega_1}) $ は半位相群ですら成立しないのか？

主な発見

• 関数空間 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ が位相線型空間（したがって位相群）であるための必要十分条件は、$ \lambda $ が $ C_\alpha $-コンパクト集合の族であり、かつ $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $ であることである。
• $ X = [0,\omega_1) $ のとき、$ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\omega) $ は半位相群であり、局所凸位相線型空間であり、位相代数である。ただし $ \lambda $ が $ C $-コンパクト集合からなるときである。
• 一方、$ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^{\omega_1}) $ は半位相群でさえなく、$ \alpha = \omega_1 $ における明確な閾値が示された。
• 最大族 $ \lambda_m $ は $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) = C_{\lambda_m}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ を満たし、空間がハウスドルフかつ群構造をもつためには $ \lambda_m $ が $ \pi $-ネットワークかつ飽和族でなければならない。
• 位相群の性質と条件 $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $ の同値性は、$ \lambda $ が $ C_\alpha $-コンパクト集合の族であり、かつその部分集合についても $ C_\alpha $-コンパクトである閉じた族である場合に限り成立する。
• $ \alpha $ が非可算な共終型を持つとき、$ X = [0,\alpha) $ は $ \gamma < \text{cf}(\alpha) $ に対して $ \gamma $-擬コンパクトであるが、$ \text{cf}(\alpha) $-擬コンパクトではない。これは、$ \mathbb{R}^{\text{cf}(\alpha)} $-値関数に対して群構造が成立しないことを説明する。