[論文レビュー] Group Structures on Families of Subsets of a Group

Mario Gómez, Sergio R. López-Permouth+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2016

Advanced Algebra and Logic被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、群 G の空でない部分集合族で、部分集合積演算に関して群をなすものであるパワー群を導入する。すべてのパワー群が部分商群（部分群の商群）に同型であるような群を同定し、これがすべての元の位数が有限であるときにかつそのときに限り成り立つことを証明する。研究により、すべてのパワー群が部分商群に同型であるとは限らないことが明らかになり、ℚ が非同型なパワー群が存在する反例として機能することが示された。

ABSTRACT

A binary operation on any set induces a binary operation on its subsets. We explore families of subsets of a group that become a group under the induced operation and refer to such families as power groups of the given group. Our results serve to characterize some types of groups in terms of their power groups. In particular, we consider when the only power groups of a group are the factor groups of its subgroups and when that is the case up to isomorphism. We prove that the former are precisely those groups for which every element has finite order and provide examples to illustrate that the latter is not always the case. In the process we consider several natural questions such as whether the identity element of the group must belong to the identity element of a power group or the inverse of an element in a power group must consist of the inverses of its elements.

研究の動機と目的

• 群 G の部分集合族が部分集合積演算に関して群をなすものとしてのパワー群を調査すること。
• すべてのパワー群が部分商群（部分群の商群）に同型であるような群を同定すること。
• 部分商群と、『コセットの群』と呼ばれるより広いクラスのパワー群との違いを調査すること。
• パワー群が部分商群に同型である条件と、そうでない条件を特定すること。
• パワー群の構造的性質、たとえば単位元が部分群でなければならないか、または群の単位元を含まなければならないかを検討すること。

提案手法

• パワー群を、群 G の空でない部分集合族で、部分集合積演算 ab = {gh | g∈a, h∈b} に関して閉じているものとして定義する。
• 2 つの主要なクラスを導入する：部分商群（部分群の商群）とコセットの群（E²=E かつ正規性に類似た条件を満たす部分集合 E によって誘導されるもの）。
• 群論的議論を用いて、4 つの条件が同値であることを証明する：部分商群であること、単位元として部分群をもつこと、パワー群における逆元の閉包性、および部分群の分割をなすこと。
• 具体的な例（たとえば ℤ と ℚ）を構成することで、すべてのパワー群がコセットの群である場合とそうでない場合を示す。
• 『下位の』群の概念を適用する：G₂ が G₁ を下位とするとは、G₁ が G₂ に同型なパワー群をもつことである。
• 濃度の議論を用いて、ℚ が ℝ に同型なパワー群をもつこと、したがって任意の部分商群に同型でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのパワー群が部分商群（すなわち部分群の商群）に同型であるような群はどれか？
• RQ2 すべてのパワー群が部分商群に同型であるための条件は何か？
• RQ3 部分商群に同型でないパワー群をもつ群は存在するか？
• RQ4 「G₂ が G₁ を下位とする」という関係は、群の間で推移的か？
• RQ5 ある群がもう一つの群を下位とするとき、それらの群が共有する構造的性質は何か？

主な発見

• ℤ の唯一のパワー群はコセットの群であり、すべてのそれらのパワー群は部分商群に同型である。
• 加法群 ℚ は ℝ に同型なパワー群をもつが、これは非可算であるため、ℚ の任意の部分商群に同型でない。
• パワー群が部分商群であることは、その単位元が G の部分群であることにちょうど同値である。
• パワー群の単位元は、G の単位元を含まなくてもよく、部分群である必要もない。
• コセットの群は、部分商群とは異なり、必ずしも分割をなすとは限らず、単位元が e を含まない場合もある。
• 非同型な群どうしが互いに下位関係にあり得る。たとえば ℚ とその ℝ に同型なパワー群のペアがその例である。