[論文レビュー] Group-theoretic generalisations of vertex and edge connectivities

Yinan Li, Youming Qiao|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2階および指数pをもつ有限p群Pに対して、群論的パラメータκ(P)およびλ(P)を導入し、グラフの頂点接続性と辺接続性の一般化を行う。Baer-Lovász-Tutte構成によって得られる群PGに対して、κ(PG)が頂点接続性κ(G)に等しく、λ(PG)が辺接続性λ(G)に等しいことを証明し、p群論におけるグラフ接続性の深い代数的一般化を確立する。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. Let $P$ be a finite $p$-group of class $2$ and exponent $p$, whose commutator quotient $P/[P,P]$ is of order $p^n$. We define two parameters for $P$ related to central decompositions. The first parameter, $κ(P)$, is the smallest integer $s$ for the existence of a subgroup $S$ of $P$ satisfying (1) $S\cap [P,P]=[S,S]$, (2) $|S/[S,S]|=p^{n-s}$, and (3) $S$ admits a non-trivial central decomposition. The second parameter, $λ(P)$, is the smallest integer $s$ for the existence of a central subgroup $N$ of order $p^s$, such that $P/N$ admits a non-trivial central decomposition. While defined in purely group-theoretic terms, these two parameters generalise respectively the vertex and edge connectivities of graphs: For a simple undirected graph $G$, through the classical procedures of Baer (Trans. Am. Math. Soc., 1938), Tutte (J. Lond. Math. Soc., 1947) and Lovász (B. Braz. Math. Soc., 1989), there is a $p$-group of class $2$ and exponent $p$ $P_G$ that is naturally associated with $G$. Our main results show that the vertex connectivity $κ(G)$ is equal to $κ(P_G)$, and the edge connectivity $λ(G)$ is equal to $λ(P_G)$. We also discuss the relation between $κ(P)$ and $λ(P)$ for a general $p$-group $P$ of class $2$ and exponent $p$, as well as the computational aspects of these parameters.

研究の動機と目的

• グラフ接続性への類似を踏まえて、2階および指数pのp群に対して新しい群論的パラメータκ(P)およびλ(P)を定義し、それらを研究すること。
• Baer-Lovász-Tutte構成を用いて、これらの群パラメータと古典的なグラフ接続性不変量との正確な対応関係を確立すること。
• 一般の2階および指数pのp群Pに対して、κ(P)とλ(P)の関係を分析すること。
• 交代双線形写像および行列空間の文脈において、これらのパラメータの計算複雑性および構造的性質を調査すること。

提案手法

• κ(P)を、Pが部分群Sをもち、S ∩ [P,P] = [S,S]、|S/[S,S]| = p^{n−s}、かつSが非自明な中心分解をもつような最小のsとして定義する。
• λ(P)を、Pが位数p^sの中心部分群Nをもち、P/Nが非自明な中心分解をもつような最小のsとして定義する。
• F_pおよび交代双線形写像を介して、F_p^n × F_p^mに群構造を定義する操作 (v1,u1)∘(v2,u2) := (v1+v2, u1+u2 + ½ϕ(v1,v2)) を用いて、グラフGからp群PGを構成する。
• Baer-Lovász-Tutte手順を用いて、F_p上の交代行列空間および交代双線形写像を介してp群PGを構成する。
• 完全接続行列空間構成を用いて、特定の交代行列空間𝒜に対してλ(𝒜) < κ(𝒜)であることを示し、2つのパラメータの間の厳密な分離を示す。
• 有限体および有理数体上の線形代数の結果を応用し、正則表現を用いてλ(P) < κ(P)となる例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階および指数pのp群の枠組みの中で、グラフ頂点接続性の群論的一般化は存在するか？
• RQ2 同じクラスのp群において、グラフの辺接続性は群論的不変量によって正確に表現可能か？
• RQ3 一般の2階および指数pのp群Pに対して、2つのパラメータκ(P)とλ(P)の関係は何か？
• RQ4 中心商および部分群分解の下で、パラメータκ(P)とλ(P)はどのように振る舞うか？
• RQ5 これらのパラメータは効率的に計算可能か？ また、それらの構造的および計算的性質は何か？

主な発見

• 任意の単純無向グラフGに対して、頂点接続性κ(G)は、Baer-Lovász-Tutte手順によってGから構成された2階および指数pのp群PGの群パラメータκ(PG)に正確に等しい。
• 辺接続性λ(G)は、群パラメータλ(PG)に正確に等しく、グラフ不変量と群不変量との完全な代数的対応関係を確立する。
• λ(P) < κ(P)を満たす2階および指数pのp群Pが存在することを示し、2つのパラメータが一般には同値でないことを示す。
• 任意の奇素数pおよびs > 1に対して、F_pまたはQ上の次元sの完全接続行列空間が存在し、これによりλ(𝒜) < κ(𝒜)となる交代行列空間𝒜を構成できる。
• このような行列空間の構成は、F_pまたはQ上の次数sの体拡張の正則表現に依存し、スパン内のすべての非ゼロ要素に対してフルランクを保証する。
• 特定の完全接続s×t行列空間から構成された交代行列空間𝒜に対して、n = s + tとおくと、κ(𝒜) = n−1およびλ(𝒜) ≤ d < n−1が成り立つことが証明される。